Intervalos d econfianza para `roporciones

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Ingeniería en Gestión empresarial

Estadística Inferencial

Tema: Intervalos de confianza para diferencias entre proporciones

30 de septiembre de 2011

Definición
“Si P₁−P₂ son las proporciones muestrales de una observación de 2 muestras aleatorias independientes de tamaño n₁ y n₂ que pertenecen auna clase de interés entonces un intervalo de confianza aproximado del 100 (1­ α) por ciento para la diferencia de las proporciones verdaderas P₁­P₂ es
P₁− P₂ ­Zα/2√ P₁ (1­ P₁)/n₁+ P₂ (1­ P₂)/n₂≤P₁­P₂≤ P₁− P₂+Zα/2√ P₁ (1­ P₂)/n₁+ P₂ (1­ P₂)/n₂
Donde Zα/2es el punto crítico superior que corresponde al porcentaje α/2 de la distribución normal estándar.”

Definición
“Frecuentementesurgen problemas donde es preferible calcular la diferencia entre los parámetros binomiales Ρ₁–Ρ₂ sobre la base de muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones binomiales.
En este caso, por ejemplo deseamos estimar la diferencia entre las proporciones de votantes de dos distritos diferentes que se expresan a favor del candidato x para que sea electo senador. Sí los números deaciertos respectivos son x₁ y x₂ y las proporciones de la muestra correspondientes son P₁=x₁n₁ y P₂=x₂n₂ , investigaremos la distribución muestral de P₁– P₂ como un estimador potencial de Ρ₁–Ρ₂.”

Definición
“Si existen dos proporciones de interés, por ejemplo, Ρ₁ y Ρ₂, es posible obtener un intervalo de confianza del 100(1–∝) porcentual sobre su diferencia Ρ₁–Ρ₂. Si se toma dos muestrasindependientes de tamaño n₁ y n₂ a partir de poblaciones infinitas de manera que x₁ y x₂ sean variables aleatorias binomiales independientes con parámetros (n₁, Ρ₁) y (n₂, Ρ₂) respectivamente donde x₁ representa el número de observaciones muestrales a partir de la primera población y que pertenecen a una clase de interés, y x₂ representa al número de observaciones muestrales a partir de lasegunda población y que pertenecen a una clase de interés , entonces P₁=x₁ y P₂=x₂/n₂ son estimadores independientes de Ρ₁ y Ρ₂, respectivamente.”

Definición
“Los intervalos de confianza para diferencia entre proporciones nos aportan información más descriptiva, en la cual muestra la diferencia entre los parámetros binomiales, para así tener un mejor análisis sobre cualquier situación, obtenerresultados de diferentes datos y así poder tomar decisiones en base a ellos.”

Ejemplos resueltos

1. “Una encuesta de 100 votantes escogidos al azar de todos los votantes en un distrito dado, indico que el 55% está a favor de un candidato en particular. Encuentre los límites de confianza del (a) 95%, (b) 99%, (c) 99.73% de la proporción de todos los votantes a favor de ese candidato.(a) Los límites de confianza del 95% de la población (p) son
P±1.96бP=1.96√P(1­P)/n=.55±1.96√(.55)(.45)/100

=.55±.10

Donde usamos la proporción muestral de .055 para estimar P

(b) Los límites de confianza del 99% para P son .55±2.58√(.55)(.45)/100

=.55±.13

(c) Los límites de confianza del 99.73% para P son .55±3√(.55)(.45)/100

=.55±.15”

2.“Si se tiene que 32 de 200 votantes de distrito A favorecen a un candidato dado para la selección del senado y 90 de 150 votantes del distrito B se expresan a favor de este mismo candidato, obtenga un intervalo de confianza de 99% para Ρ₁–Ρ₂, la diferencia entre las proporciones reales de votantes de los dos distritos favorables al candidato.

P₁=132/200, P₂=90/150 y z.995=2.575 en elintervalo de confianza se obtiene

–.074<Ρ₁–Ρ₂<.194”

3. “Considérese el proceso de fabricación de soportes para cigüeñales, supóngase que se hace una modificación al proceso de acabado de la superficie y que de manera subsecuente se toma una segunda muestra aleatoria de 85 ejes. El número de ejes defectuosos en esta segunda muestra es 8. Por son siguiente, puesto que n=85,...
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