Introducción a las series de fourier

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UNIDAD IV: INTRODUCCION A LAS SERIES DE FOURIER

1. Definición, planteo del problema y aplicaciones

La presentación de una función en la forma de una serie es una práctica bastante común en matemáticas. Probablemente las expresiones más familiares son las series de potencias de la forma:

En donde el conjunto base se compone de las funciones potencia

La finalidad de expresarfunciones en formas des series es lograr una mayor facilidad al momento de trabajar con unos pocos de sus primeros términos

ALCANCES PRELIMINARES.

Para entender con total claridad el concepto de series de Fourier daremos unas definiciones previas recordando que es una serie, funciones periódicas.

SERIES Y SUCESIONES:

En matemáticas, sucesión es una secuencia ordenada de números u otrascantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.

Ejemplo:
Serie da Taylor.

FUNCIONES PERIÓDICAS:

Definición.- Decimos que una función es periódica, si existe un número positivo “T” tal que . El número T recibe el nombre de período de la función f(t).

Observación



TEOREMA DE FOURIER:

Este teorema afirma que una función periódica que satisfaceciertas condiciones puede expresarse como la suma de un número de funciones de seno de diferentes amplitudes, faces y periodos. Esto es, si f(t) es una función periódica con periodo T

...(4.1)

Donde:
* A y las son constantes y es la frecuencia de f(t)
* El término se llama primera armónica o fundamental y tiene la misma frecuencia que la función padre f(t).
* Los términos , sellama la n-ésima armónica y tiene frecuencia que es n veces la del modo fundamental.
* denota la amplitud de n-ésima armónica y es su ángulo fase que mide el retraso o adelanto de la n-ésima armónica con referencia a una onda de seno pura de la misma frecuencia como:

Donde:
, (4.2)

La expresión (4.1) puede escribirse como:

(4.3)

LOS COEFICIENTES DE FOURIER

Antes deproceder a evaluar los coeficientes de Fourier, Enunciamos las Siguientes integrales, en las cuales
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)

Los resultados (4.4) y (4.8) constituyen las relaciones de ortogonalidad para las funciones seno y coseno y prueban que el conjunto de funciones:


Es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo. La elección de d esarbitraria en estos resultados y solo es necesario integrar sobre un periodo de duración T .

Al integrar la serie (4.3) con respecto a t sobre el periodo t = d a t = d+T, y usando (4.4) y (4.5) encontramos que cada termino del lado derecho es cero excepto el término que involucra a ; esto es, tenemos

Así:

Y podemos ver que el término contante en la expansión de la serie de Fourier Representael valor de la función f(t) sobre un periodo. Para una señal eléctrica, representa el nivel de referencia ala componente de CD (corriente directa). Así

(4.9)

Para obtener este resultado, hemos supuesto que es posible integrar término a término de la serie (4.3). esto es así debido a las propiedades de convergencia de la serie, su valides es discutida con detalle en textos más avanzados.Para obtener el coeficiente de Fourier , multiplicamos (4.3) término a término por e integramos con respecto a t sobre el periodo t = d a t = d+T, obteniendo:

Suponiendo que se puede integrar término a término y usando (4.4), (4.7) y (4.8) encontramos que cuando la única integral distinta de cero del lado derecho es la que aparece en la primera sumatoria cuando n = m. Esto es, tenemosObteniendo:

Que reemplazando m por n da:

(4.10)

El valor de dado en (4.9) puede obtenerse tomando n = 0 en (4.10) de manera que podemos escribir:

(4.11)
Esto explica porque le término constante en la expiación en serie de Fourier se toma como y no como ya que esto garantiza la compatibilidad de los resultados (4.9) y (4.10). Aunque ysatisfacen la misma fórmula, es más seguro...
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