Introduccion al calculo numerico

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Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio deL PODER POPULAR PARA LA Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología
Agroindustrial – Región los Andes

UNIDAD 1: CÁLCULO NUMÉRICO

1.1 Introducción al Cálculo Numérico.
1.2 Método de bisección.
1.3 Método de Newton – Raphson.
1.4 Método de Newton – Raphson modificado para el cálculo de raícesmúltiples.
1.5 Sistema de Ecuaciones no lineales. Newton – Raphson para un sistema no lineal.

INTEGRANTES:
JOAURA ROMERO C.I: 13.588.052
JOAN GUILLEN C.I: 13.918.255
RUBEN SANABRIA C.I: 13.303.551
DARWIN MENDOZA C.I: 17.358.207
PNF ELECTRICIDAD SECCION FS3
FINES DE SEMANA
ING. HUGO MONCADA

SAN CRISTOBAL, MAYO 2010
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO

El análisis numérico ocálculo numérico, es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es unprocedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamentecomplejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.MÉTODO DE BISECCIÓN

El algoritmo más simple de búsqueda de raíces es el método de bisección.
Requiere un intervalo inicial que contenga alguna raíz de la ecuación (de forma que la función tome en los extremos de los mismos valores de distinto signo). Dicho intervalo inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se bisecta) tomándose el intervalo que contiene a la raíz. A pesar de serun método que siempre converge a una solución, converge muy lentamente.

Este método tiene como base ó motivación el Teorema (1.3), Teorema del Valor Intermedio. En particular, si f es una función continua digamos, y a, b son dados tales que f(a)f(b)0, entonces definimos c=(a+b)/2. Si f(c)=0, entonces terminamos. De lo contrario remplazamos a ó b con c manteniendo la diferencia en signos, etc.Esto nos lleva al siguiente pseudo algoritmo llamado el Método de la Bisección: 

Suponga que es una función continua y que a, b son dados tales que f(a)f(b)0 y >0 es también dado (criterio de paro).
1. Sean a1=a, b1=b, n=1.
2. Defina cn= (an+bn)/2.
3. Si bn-cn, entonces aceptamos cn como una raíz aproximada y paramos el proceso.
4. Si signo (f (bn))signo(f(cn))0,entonces ponemos an+1=cn. De lo contrario ponemos bn+1=cn.
5. Ponga n=n+1, y vuelva a (2).
Un Ejemplo Considere la función f(x)=x2+x-1. Note que como f(0)=-1 y f(1)=1, tenemos que existe una raíz de la ecuación f(x)=0 en el intervalo (0,1). Vamos a aproximar esta raíz con el método de la bisección. Los resultados son como sigue:

n | an | bn | cn | f(an) | f(bn) | f(cn) |
1 | 0 | 1 | 0.5| -1 | 1 | 0.25 |
2 | 0 | 0.5 | 0.25 | -1 | 0.25 | -0.69 |
3 | 0.25 | 0.5 | 0.375 | -0.69 | 0.25 | -0.48 |
4 | 0.375 | 0.5 | 0.4375 | -0.48 | 0.25 | -0.37 |
5 | 0.4375 | 0.5 | 0.46875 | -0.37 | 0.25 | -0.31 |

Un Ejemplo: Encontrar una solución para la ecuación X3-X=1 Común error máximo de 0.05
Función: X3-X=1 f(x)= X3-X-1=0 Error: e=0.05 -f(x1) y f(x2) de signo contrarios

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