INTRODUCCION ALA TRANSFORMACIONES LINEALES

Instituto Tecnológico
Superior de Macuspana



Transformaciones Lineales



Docente:
María concepción



Unidad: 5
Alumno
Jose Fernando feria CHABLE
Segundo Semestre
Ingeniería En Sistema
25Mayo 2015
Introducción



Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Se denomina transformación lineala toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.
Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Acontinuación se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, su imagen y el núcleo, y su representación matricial.













Índice

Contenido
EJEMPLOS: Halla la representación matricial AT y el rango de la transformación lineal dada: 8




























TRANSFORMACIONES LINEALES



Definición:

Las transformaciones lineales son las funciones ytratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.
Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento alos sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

SeanV y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)







Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por
                        
Es lineal. 
                  
                  Entonces : 
                    
   

Por otro lado, para todo escalar c, 
                              
          

Como se cumplen las dos condiciones:       
                      
     
T es lineal.
Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de unabase cualquiera de su dominio.













Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: infectividad, suryectividad y biyectividad. 

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben nombres particulares:
Definición 3.6 Sean V y W dos K-espaciosvectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se dice que:

1. f es un monomorfismo si f es inyectiva.
2. f es un epimorfismo si f es suryectiva.
3. f es un isomorfismo si f es biyectiva.



En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio vectorial en s ́ı mismo:
Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V → V se llama un endomorfismo de V . Si f es unendomorfismo que es además un isomorfismo, entonces se dice que es un automorfismo.






La matriz de una transformación lineal
Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx =...