Introduccion a la geometria

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La geometría diferencial es la rama de las matemáticas que estudia figuras geométricas utilizando métodos del análisis matemático. Las primeras figuras que se estudiaron por la geometría diferencialfueron las curvas y superficies en el espacio euclídeo.

La geometría diferencial surgió y se desarrolló estrechamente ligada al análisis que, a su vez, se originó a partir de problemas geométricos.Por ejemplo, el concepto de tangente (geometría) precedió al de derivada que se a su vez dio la herramienta para reencontrar la tangente en geometría diferencial.

Hay objetos de la geometríadiferencial que ya fueron definidos y estudiados por los griegos pero el surgimiento de la geometría diferencial se suele datar en la primera mitad del siglo XVIII con los trabajos de los Bernouilli, L.Euler y G. Monge. El primer tratado de teoría de superficies es el trabajo de Monge "Aplicación del Análisis a la Geometría" de 1795.

La obra de Gauss "Disquisitiones generales circa superficiescurvas" sentó las bases de la teoría de superficies en su forma actual y el curso que presentamos es en muchos puntos una lectura actual de este trabajo. El material del artículo de Gauss se dice que esel corazón de la geometría diferencial.

La aparición de las geometrías no euclídeas (Bolyai-Lovachevski-Gauss) y la conferencia de 1853 de B. Riemann: "Sobre las hipótesis en que se funda laGeometría", dieron origen a la geometría riemanniana que abrió nuevos espacios geométricos y por ende nuevas geometrías. Más adelante la geometría riemanniana sirvió de soporte matemático a la relatividadgeneral de A. Einstein en 1915. Actualmente la geometría diferencial tiene un desarrollo muy extenso y sus aplicaciones aparecen en muchas ramas de la física y otras ciencias.

El material de un cursocomo el presentado de geometría diferencial de curvas y superficies es considerado universalmente como parte esencial de los conocimientos básicos que debe poseer un matemático. Así ha sido...
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