Introducción a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales de orden uno

Estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales
Estudio geom´trico de las soluciones. Campos e de pendientes
Los campos de pendientes son un procedimiento geom´trico para represene tar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden. este m´todo presenta e una alternativa a la resoluci´n anal´ o ıtica de la ecuaci´n diferencial ya que en o ocasiones resulta complicada de manejar.Consideremos F (t, x, x ) = 0 una ecuaci´n diferencial de primer orden, o o bien en la forma normal x = f (t, x). Una forma de visualizar la forma gr´fica a de las soluciones es mediante los campos de pendientes. Si ϕ(t) es una soluci´n o del problema de valor inicial x = f (t, x), x(t0 ) = x0 , (1)

la pendiente de la tangente a la gr´fica de ϕ en el punto (t0 , x0 ) es f (t0 , x0 ), a as´ tenemosla pendiente de la tangente a la gr´fica de una soluci´n en cualquier ı a o punto. La tarea puede ser laboriosa por lo que recurrimos a programas de ordenador como Matlab, Mathematica, Maple y otros.

" Un campo de pendientes de una ecuaci´n diferencial (1) es la direcci´n o o
o pendiente en cada punto del plano tx (o dominio del plano). La terna (t, x, x ) determina la direcci´n de una recta quepasa por el punto o (t, x). El conjunto de los segmentos de esas rectas es la representaci´n geom´o e trica del campo de pendientes. Para dibujar el campo de pendientes de una ecuaci´n diferencial y = o f (x, y) se requiere evaluar la funci´n f en una colecci´n de puntos, escogeo o mos unos cuantos puntos y calculamos en cada uno de ellos el valor de f . Este n´mero ser´ la pendiente de la rectatangente a la curva soluci´n que pasa por u a o dichos puntos. Luego dibujaremos unos peque˜os segmentos en cada uno de n los puntos y as´ podemos hacernos una idea de la naturaleza de las soluciones. ı El problema de integraci´n de (1) se puede interpretar como hallar una o curva cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci´n que el campo en o ese punto. La construcci´n de las curvasintegrales de la ecuaci´n diferencial (1) o o lo podemos hacer de una forma aproximada seg´n nos dirijan las pendientes. u 1

Campos de pendientes especiales.
Desde un punto de vista anal´ ıtico, las ecuaciones diferenciales de la forma dx = f (t) y dt dx = f (x) dt

son m´s f´ciles de considerar, ya que son separables. La geometr´ de sus a a ıa campos de pendientes es igualmente especial. (I)Ecuaciones del tipo dx = f (t). Para este tipo de ecuaciones se cumple dt que la pendiente en cualquier punto es la misma que en cualquier otro punto con la misma coordenada t. Geom´tricamente esto implica que e todas las marcas de pendientes sobre cada t son paralelas. Encontrar soluciones para este tipo de ecuaciones diferenciales es como calcular una antiderivada. ’ Ejemplo 1. Estudia el campo dependientes de la ecuaci´n x = 2t. o Para x = 2t la soluci´n exacta es x(t) = t2 + C, curvas soluci´n que o o difieren s´lo en una traslaci´n vertical. El campo de pendientes correo o spondiente a esta ecuaci´n diferencial aparece en la figura siguiente. o

x Direction Field

0.6

0.4

0.2

t -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.2

-0.4

-0.6

Figura 1: Campos de pendientes de x = 2t(II) Ecuaciones aut´nomas de la forma dx = f (x). Puesto que la funci´n que o o dt aparece a la derecha no depende del tiempo tenemos f (t1 , x) = f (t2 , x) = f (x). En este caso el campo de pendientes es paralelo a lo largo de cada l´ ınea horizontal. 2

’ Ejemplo 2. Consideremos dx = 4x(1 − x). Se observa que a lo largo dt de cada l´ ınea horizontal, las marcas de pendiente son paralelas taly como vemos en la figura 2.
Direction Field

Figura 2: Campos de pendientes de x = 4x(1 − x)

Adem´s podemos comprobar f´cilmente que: a a

% Si 0 < x < 1 entonces % Si x < 0 o x > 1,
decreciente.
dx dt

> 0, las tangentes sugieren que una soluci´n con 0 < x < 1 es creciente. o < 0 y cualquier soluci´n con x < 0, x > 1 es o

dx dt

% Si x = 0 o x = 1 tenemos soluciones de...