Inv ope 2 modelos de colas

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Modelo de un servidor con tasa de llegadas Poisson, servicio Exponencial.

Las tasas promedio de llegadas son,

Las tasas de salidas se definen como,

Entonces

La ecuación para P0 es

,

de manera que

Entonces

Ejemplo

Una estación de trabajo puede procesar una pieza a la vez. Las piezas llegan a la estación según un proceso Poisson con una tasa media de 8 piezas porhora. La capacidad de procesamiento de la estación de trabajo es de 10 piezas por hora.

Determine:

a) La probabilidad de que la estación de trabajo está vacía.
b) La distribución de probabilidades del número de piezas que se encuentran en la estación de trabajo.
c) El tiempo promedio que una pieza permanece en la estación de trabajo.
d) El número promedio de piezas queesperan a ser procesadas.

Solución

= 8 piezas/hora

= 10 piezas/hora, r = (/10) = 0.8

a)
b)
c)
d)

Modelo de un servidor con tasa de llegadas Poisson, servicio Exponencial con cola finita.

La tasa de llegadas está dada por,

La tasa de salidas como,

Entonces

La ecuación para P0 es

,

de manera que

Entonces

.

La tasa promedio de llegadasestá dada por

.

Así que



Ejemplo

Una pequeña lavadora de coches tiene espacio suficiente para la espera de 5 coches sin incluir el que se encuentra en servicio. En estas condiciones, las llegadas ocurren de acuerdo a un proceso poisson con una media de 2 coches por hora; el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una media de 20 minutos. Calcular:

a) Laprobabilidad de que la lavadora no se encuentre vacía.
b) La probabilidad de que un cliente cualquiera no pueda entrar a la lavadora.
c) La tasa esperada de llegadas.
d) El número promedio de coches que se encuentran en la lavadora.
e) El número promedio de coches que esperan por servicio.
f) El tiempo promedio que un coche permanece en la lavadora.

Solución

Datos: M = 6, ,a) ,
b)
c)
d)
e)
f)

Modelo de un servidor con tasa de llegadas Poisson, servicio Exponencial con fuente limitada.

Las tasas de llegadas está dada por,

en donde = tasa del llegadas por unidad.
Las tasas de salidas están dadas por

Para encontrar la ecuación para necesitamos primero determinar y .
Si ,
si ,
si ,
en general

Del mismo modo,La ecuación para es

Asimismo,
;

Para determinar los tiempos de espera y de permanencia en el sistema, es necesario encontrar la tasa esperada de llegadas para el sistema .

Ejemplo.
En una celda de manufactura, un operario atiende a 5 máquinas. Cada máquina tiene un tiempo de funcionamiento con distribución exponencial con una media de 30 minutos, esto es, la máquina funciona durantecierto tiempo y después se detiene. Una vez que una máquina se detiene, el operario realiza labores de descarga, preparación, carga y arranque de la máquina para una nueva corrida de producción. Bajo estas circunstancias, el tiempo que el operario tarda en atender a una máquina sigue una distribución exponencial con una media de 4 minutos. Encuentre:
1. La probabilidad de que el operario seencuentre ocioso.
2. El número promedio de máquinas que esperan para ser atendidas por parte del operario.
3. El tiempo promedio que una máquina permanece inactiva.

Solución
1. El operario se encuentra ocioso cuando el sistema se encuentra vacío.

2. La longitud de la cola.

3. El tiempo que una máquina permanece inactiva es el tiempo que permanece en el sistema.

n |M!/(M-n)! | M!/(M-n)!rn | Pn |
0 | 1 | 1 | 0.45301608 |
1 | 5 | 0.66666667 | 0.30201072 |
2 | 20 | 0.35555556 | 0.16107238 |
3 | 60 | 0.14222222 | 0.06442895 |
4 | 120 | 0.03792593 | 0.01718105 |
5 | 120 | 0.00505679 | 0.00229081 |

Para comprobar los cálculos podemos encontrar el tiempo que una máquina espera en la cola.

La diferencia entre ambos tiempos es igual al tiempo esperado...
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