Inversión de giro

Curva
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En matemáticas, el concepto de curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una círculo de radiode curvatura infinito. Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1.
Contenido[ocultar] * 1 Historia y definiciones * 1.1 Curva simple * 1.2 Curva plana * 1.3 Curva diferenciable * 1.4 Curva cerrada * 2 Geometría diferencial de curvas en R3 * 2.1 Vectores tangente, normal y binormal * 3 Curvas no diferenciables * 4 Referencias * 5 Enlaces externos |[editar] Historia y definiciones
Cronología[1] |
Año | Acontecimiento |
300 a. C. | Euclides define las secciones cónicas |
250 a. C. | Arquímedes investiga las curvas espirales. |
225 a. C.. | Apolonio de Perge publica Cónicas. |
1704 | Isaac Newton clasifica las curvas cónicas. |
1890 | Giuseppe Peano aplicando la definición de Jordán,
demuestra que un cuadrado relleno tambiénes una curva. |
Década de 1920 | Pável Urysón y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topología. |
Camille Jordan (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver teorema de la curva de Jordan). En geometría, una curva en el n-espacio euclideano es un conjunto que es la imagen de un intervalo Ι abiertobajo una aplicación diferenciable , i.e:

donde suele decirse que () es una representación paramétrica o parametrización de .
[editar] Curva simple
Las curvas, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto pexiste un Ω entorno abierto de p para el cual admite una representación de clase Ck con .
La definición de Jordan ha sido cuestionada a partir del descubrimiento del italiano Giuseppe Peano. Este matemático demostró en 1890 que un cuadado relleno entra dentro de la definición de Jordan, pues logró representar todos los puntos del mismo utilizando dicha definición: trazó todos los puntos delcuadrado con una única curva. Pero es claro que un cuadrado no es, en el sentido convencional del término, una curva. Debido a ello, y al descubrimiento posterir de otros casos similares a los de Peano, se ha planteado la necesidad de mejorar la definición de la definición de lo que es, matemáticamente, una curva.[1]
[editar] Curva plana
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puedeser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana. [2]
[editar] Curva diferenciable
Una curva se llama diferenciable cuando la función es diferenciable. Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arcoestá bien definida y es posible calcular su longitud. La curva :

es continua pero no diferenciable, por lo qu esu longitud entre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.
[editar] Curva cerrada
Una curva diferenciable es cerrada cuando cuando . Si además, la función es inyectiva en el intervalo entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curvacerrada simple es homeomorfa al círculo S1, es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva dada por:

es una curva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.
[editar] Geometría diferencial de curvas en R3
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