Investigacion calculo vectorial

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1.6 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
1.6 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS

* ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
Para que podamos determinar un plano siempre tenemos que tener dos aspectos que sean normales al plano:
a) UN PUNTO: P0(X0,Y0,Z0)
b) UN VECTOR: N(A,B,C)
Entonces la ecuación que nos daría seria una relación donde:
Ax-x0 +By-y0+Cz-z0=0↔A*x+B*y+ C*z+D=0
En esta relación vemos queexiste un ultimo coeficiente que es la D este coeficiente toma un valor de:
D=-A*x-B*y-C*z
En esta ecuación podemos encontrar algunos casos particulares ya que nos podemos encontrar que alguno de los coeficientes sean NULOS.

A) Cuando A=0
En esta caso la ecuación toma la forma de
B*y+C*z+D=0
Y el vector normal del plano de la forma:
N=B* j+C* k
Fig. 1 Plano paralelo al eje OX.
Fig. 1Plano paralelo al eje OX.

B) Cuando B=0
En este caso la ecuación toma forma de
A*x+C*z+D=0
Y el vector del plano es de la forma
Fig. 2 Plano paralelo al eje OY.
Fig. 2 Plano paralelo al eje OY.
N=A* i+C* k

C) Cuando C=0
La forma de la ecuación es:
A*x+B*y+D=0
Y la forma del vector seria
N=A* i+B* J
Fig. 3 Plano paralelo al eje OZ.
Fig. 3 Plano paralelo al eje OZ.

D)Cuando D=0
En este caso solo será de la forma
A*x+B*y+C*z=0

E) Cuando A=0 y B=0
La ecuación quedaría de la forma
Fig. 4 Plano perpendicular al eje OZ.
Fig. 4 Plano perpendicular al eje OZ.
C*z+D=0 ;z=constante

F) Cuando A=0,C=0
La ecuación general toma la forma de
B*y+D=0 ;y=constante

G) Cuando B= O, C=0
La ecuación toma la forma de
A*x+D=0 ;x=constante
*ECUACION VECTORIAL
Un plano tiene que estar compuesto por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.
Por ejemplo:

Fig. 5 Plano con un punto P y dos pares de vectores.
Fig. 5 Plano con un punto P y dos pares de vectores.

Y para que el punto P pertenezca al plano, el vector PX tiene que pertenecer al mismo plano que los vectores U y V.
PX= λU+μV
x-x0,y-y0,z-z0=λU1,U2,U3+ μ(V1,V2,V3)
x,y,z=x0,y0,z0+ λU1,U2,U3+ μ(V1,V2,V3)

* ECUACIONES PARAMETRICAS
Este se considera el desarrollo de la ecuación vectorial ya que representan las coordenadas de un punto de la recta en términos de una variable independiente.
Por ejemplo tomando el plano de la ecuación vectorial tenemos que:
x,y,z=(x0+U1λ+V1µ,y0+U2λ+V2µ,z0+U3λ+V3µ)
En esta igualdad verificamos si:x=x0+U1λ+V1µ
y=y0+U2λ+V2µ
z=z0+U3λ+V3µ


* ECUACION GENERAL DEL PLANO
Un punto puede estar en un plano si esta tiene solución en el sistema
x-x0=U1λ+V1µ
y-y0=U2λ+V2µ
z-z0=U3λ+V3µ
Este sistema tiene que ser compatible en las incógnitas y µ para poder resolverlo . Por la tanto la determinante de la matriz del sistema la tenemos que igualar a cero:
x-x0U1V1y-y0U2V2z-z0U3V3=0Entonces de aquí lo desarrollamos y quedaría:
U2V2U3V3x-x0-U1V1U3V3y-y0+U1V1U2V2z-z0=0
Lo siguiente que tenemos que hacer es darle los valores a A, B, C:
A=U2V2U3V3 B=-U1V1U3V3 C= U1V1U2V2
Ya obtenidos los valores de A,B,C entonces nada mas los sustituimos:Ax-x0+By-y0+C(z-z0)
De allí realizamos las operaciones y le damos a D el valor
D=-Ax0-By0-CZ0
De este desarrollo obtenemos la ECUACION GENERAL DEL PLANO:
Ax+By+Cz+D=0






* VECTOR NORMAL
El vector n=A,B,C es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.





Fig. 6 Representacion de un vector normal al plano
Fig. 6 Representacion de un vectornormal al plano

Si Px-x0,y-y0,z-z0 es un punto del plano, el vector PX=(x-x0,y-y0,z-z0) es perpendicular al vector n , y por lo tanto el producto escalar es cero:
PX*n=0
De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.


* ECUACION CANONICA O SEGMENTARIA DEL PLANO
Tenemos esta figura de un plano con los puntos...
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