Investigacion De Calculo

1.- Definición de la integral de una función
Aplicación lineal definida sobre un conjunto de funciones y cuyo conjunto imagen está formada por números, funciones o clases de funciones. Los distintos tipos de integración se caracterizan por el modo de definir la aplicación y por las condiciones de las funciones a las que se aplican. Dicha aplicación lineal consiste en calcular la función F(x)cuya derivada da como resultado otra función o familia de funciones f(x). Si f y F son dos funciones reales que están definidas en un mismo dominio.

2.- Interpretación geométrica de la integral
Una de las nociones fundamentales de la integral representa el área bajo la curva. Veamos como surge esta interesante noción:
¿Cómo podríamos calcular el área bajo esta curva?Una noción principal podría generarse de la forma siguiente :
Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando con círculos, de los cuales conocemos el área.

Sin embargo, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos mas pequeños.

Gráfica de la función en la que la parte de negro no ha sido llenada con círculosaunque pudieran llenarse.
También podríamos intentar llenar el área bajo la curva con triángulos, pero al igual que el llenado con círculos resulta impráctico en el sentido de que tendremos que calcular el área de diferentes triángulos rectángulos o cualquier otro y calcular su área en particular.
Como podemos ver el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico estemétodo.

¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figura regular como lo es un rectángulo?
 
como podemos sabemos, resulta práctico calcular el área de un rectángulo, han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobre pasado el margen de la curva
 
 Observamos que el área del rectángulo de lado y f(x1) esta descrita como:

 
Para el segundo rectángulotendríamos un de lados y f(x2) esta descrita como:

Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos:

A medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva tendremos una mejor aproximación, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara que los incrementos sean mas pequeños a fin de obteneruna mejor aproximación.

Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños por lo que podríamos pensar que a medida que hacemos crecer los rectángulos tendremos:
 
 Esta fue la forma clásica en surge el concepto de integral, posteriormente a esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología
 
 por loque una aproximación mas acorde para el área bajo la curva lo podemos representar como:
 
  este símbolo es conocido como la integral.

3.- Sumatorias (notación sigma)
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión:Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria yse reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.
4.- Integración de las funciones: constante, identidad y cuadrática, mediante sumas de Riemann.
* Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.
*  Toda función continua y acotada en un intervalo...