Investigacion de operaciones

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Ampliación de Estadística

Chuletario oficial

Ρ⎛ ⎜ ⎝

{X n

= j}

{X 0

⎞ = p (n ) Prob. condicionales estacionarias de transición en n pasos ij = i} ⎟ ⎠

Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov:
( ( ( pij ) = ∑ pik ) pkj
n v k =0 M n−v )

para todo i, j

n > 0 0 ≤ v≤ n

π j ( n ) = P ({ X n = j} ) = ∑ P ({ X 0 = i} ) ⋅ P ⎜ {
M i =0

P (n ) = P ⋅ P L P = P n = P (n −1 ) ⋅ P o P(n ) = P ⋅ P L P = P n = P ⋅ P (n −1 )
⎛ X n = j} ⎝ ⎞ M = π 0 ⋅ p(n) { X 0 = i} ⎟ ∑ i ( ) ij ⎠ i =0 para todo j , n

O en notació matricial, π ( n ) = π (0 ) ⋅ P n o π ( n + 1) = π (n ) ⋅ P Probabilidades de primer paso, f ij(n ) :
⎧ f (1) ⎪ ij ⎪ f ( 2) ⎪ ij ⎨ ⎪M ⎪ f ( n) ⎪ ij ⎩
( = pij1)
1 ( = pij2) − fij(1) p(jj )

= M
1 ( = pijn) − fij( n−1) p(jj ) − fij( n−2) p(jj2) L− fij(1)p(jjn−1)

o fij(

n)

⎧ ⎪ 0 n=0 ⎪ ⎪ =⎨ pij n =1 ⎪ n−1 ( ⎪ pijn) − ∑ fij( n−m) p(jjm) n > 1 ⎪ m=1 ⎩

Tiempo medio de primer paso: si

∑ f ( ) = 1 , los m
n n =1 ij



ij

’s satisfacen unívocamente las

ecuaciones: ⎧ m0 j = 1 + ∑ p 0 k m kj ⎪ k≠ j ⎪m = 1 + ∑ p1 k m kj ⎪ 1j k≠ j ⎪ M ⎪M ⎪m = 1 + ∑ p j −1, k m kj o m ij = 1 + ⎨ j −1, j k≠ j ⎪ = 1 + ∑ p j +1, k m kj ⎪ m j +1, j k≠ j ⎪ ⎪ M ⎪M ⎪ m M −1, j = 1 + ∑ p M −1,k m kj k≠ j ⎩ Probabilidades de los estados en régimen estacionario:

∑p
k≠ j

ik

m kj

πj

=
i

∑π
i =0

M

i

pij

j = 1, 2, 3, K , M

∑π
i =0

M

O en notación matricial, π = π ⋅ P

más

= 1

∑π
i =1

M

i

=1

Y además π j =

1 j = 1, 2,K , M m jj

Pàg. 1

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⎧ 1 M−1 ( ⎫ En cadenas irreducibles, lim n→∞ ⎨ ∑ pijk ) ⎬ = π j j = 0,1, 2,3,L , M − 1 . ⎩ n k =0 ⎭

⎧ ⎡1 n ⎤ ⎫ M −1 El coste medio esperado por transición: lim n→∞ ⎨ Ε ⎢ ∑ C ( X t ) ⎥ ⎬ = ∑ C ( j ) ⋅ π j ⎦ ⎭ j =0 ⎩ ⎣ n t =1
Probabilidades de absorción: si j estado absorbente, M ⎧ f =1 f ik = ∑ pij ⋅ f jk i = 0,1, 2,K, M − 1 con ⎨ kk j =0 ⎩ fk = 0 i ≠ k recurrente Variable exponencial de parámetro α:si x ≤ 0 ⎧ 0 F ( x) = P { X ≤ x} = ⎨ donde λ >0 es una cte fija. −λ si x f 0 ⎩1 − e Distribución de poisson de parámetro α:P{N(t)=k}= e − λt Procesos de nacimiento y muerte: (λ t ) k si t≥0 fijo. k!

λi pi = µi +1 pi +1

ρ0 = 1 λ0 λ1 L λi −1 i ≥ 0, pi = p = ρi p0 donde λ λ L λi −1 ρi = 0 1 µ1µ 2 L µ i 0 µ1µ 2 L µ i
⎛ ∞ ⎞ p0 = ⎜ ∑ ρ j ⎟ > 0 si ⎝ j =0 ⎠
−1

i ≥ 1.

∑ρ
j =0



j

<∞.

Fórmulas de Little: L = λ W , M/M/1

LS = λ WS ,

Lq = λ Wq , L = LS + Lq ,W = WS + Wq .

ρ0 = 1
i

λ λ L λi −1 ⎛ λ ⎞ = ⎜ ⎟ =ρ i ρi = 0 1 µ1µ2 L µi ⎝ µ ⎠
Recurrente positiva si

i ≥ 1.

pi = ρi p0

p0 =

1

∑ρ
j =0



=
j

1 = 1− ρ 1 1− ρ

∑ρ
j =0



j

< ∞, llega a un estado de equilibrio.

L = ∑ jp j =
j =0




ρ
1− ρ

=


λ µ −λ

.∞

Lq = ∑ ( j − 1) p j = ∑ jp j − ∑ p j =
j =0 j =1 j =1

ρ
1− ρ

−ρ =

λ2 . µ (µ − λ)

Pág. 2

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M/M/s

λn = λ µn = ⎨
⎧n ⋅ µ ⎩s⋅µ

n = 1, 2,.. n = 1, 2,..s − 1 n = s, s + 1,..

⎧ 1 ⎛ λ ⎞n ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ρn = ⎨ n ! ⎝ µ ⎠ ⎪ ss n ⎪ s! ρ ⎩

0≤n≤s n≥s
−1

−1 ⎡ s −1 1 ⎛ λ ⎞ n s s ρ s ⎤ ⎛ ∞ ⎞ p0 = lim P { X (t ) = 0} = ⎜ ∑ ρ n ⎟ = ⎢ ∑ ⎜⎟ + ⎥ Y t →∞ s! 1 − ρ ⎥ ⎝ n =0 ⎠ ⎢ n =0 n ! ⎝ µ ⎠ ⎣ ⎦

⎧ 1 ⎛ λ ⎞n ⎪ ⎜ ⎟ p0 ⎪ n! µ pn = ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ ss n ⎪ s ! ρ p0 ⎩

0 ≤ n ≤ s P { X (t ) ≥ s} = ∑ pn = ∑
n=s n=s s





∞ ss ⎛ λ ⎞ 1 ⎛ λ ⎞ n−s ⎜ s ⋅ µ ⎟ p0 = ∑ s ! ⎜ µ ⎟ ρ p0 = s! ⎝ n=s ⎠ ⎝ ⎠ s s

n

s

n≥s
s

=

∞ ∞ p0 1 ⎛λ⎞ 1 ⎛λ⎞ 1 ⎛λ⎞ n−s n ⎜ µ ⎟ ⋅ p0 ⋅ ∑ ρ = s ! ⎜ µ ⎟ ⋅ p0 ⋅ ∑ ρ = s ! ⎜ µ ⎟ ⋅ 1 − ρ s! ⎝ ⎠ n=s n =0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1⎛λ⎞ ρ . Lq = λWq = ⎜ ⎟ p0 1− ρ s! ⎝ µ ⎠ ⎛ 1⎞ λ λ L = λW = λ ⎜ Wq + ⎟ = λWq + = Lq + . µ⎠ µ µ ⎝ L ⎧ Wq = q s ⎪ 1 ⎛λ⎞ ρ ⎪ λ Lq = λWq = ⎜ ⎟ p0 ⎨ λ L 1− ρ ⎪ s! ⎝ µ ⎠ L = Lq + → W = µ λ ⎪ ⎩

M/M/∞

pi = e

−λ / µ

(λ / µ )
i!

i

, i ≥ 0.

M/M/1/K ⎧λ λn = ⎨ ⎩0

n=0,1,2,...,K-1 n=K,K+1,....

µn = ⎨

⎧ µ ⎩0

n=1,2,. n=K+1,K+2,...

⎧ ⎛ λ ⎞n n=1,2,...,K λ0λ1 L λn −1 ⎪...
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