Jajaj

El teorema anterior significa que conforme agreguemos términos de la serie geométrica infinita indicada, la suma se aproximara más a a1 / (1 – r). En el ejemplo siguiente se expone la forma de usar el teorema para probar que todo número real representado por un decimal repetitivo es racional.

Ejemplo: Expresión de un decimal repetitivo infinito como numero racional.
Encuentra un númeroracional que corresponda a 5.427

Solución: Podemos escribir la expresión decimal 5.4272727… como, 5.4+0.027+0.00027+0.0000027+….

A partir del segundo término, 0.027, la suma anterior tiene la forma dada en el teorema sobre la suma de una seria geométrica infinita, con a1 = 0.027 y r = 0.01, de ahí que la suma S de esta seria geométrica infinita sea.

S= a11-r = 0.0271-0.01 = 0.0270.990 = 27990 =3110

En consecuencia, el número deseado es

5.4 + 3110 = 594110 + 3110 = 597110

Una comprobación por división muestra que 597110 corresponde a 5.427.

En general, dada cualquier sucesión infinita a1 + a2 +…. La expresión.
a1 + a2 +…an +….

Se llama serie infinita o simplemente serie. Denotamos esta serie así
m=1mam1

Cada numero a1 es un término de la seria, y an es el n-ésimotermino. Puesto que solo se pueden sumar algebraicamente sumas finitas, es necesario definir que se quiere decir por una suma infinita. Considera la sucesión sumas parciales.
St..Sz…….Sm….

Si hay un numero S tal que Sn S a medida que N∞, entonces, igual que en nuestro análisis de una serie geométrica infinita, S es la suma de la serie infinita y escribimos.
S = a1 + a2 +….+ an +….,

En elejemplo anterior encontramos que el decimal repetitivo infinito 5.427272727…. Corresponde al número racional 597110 dado que 597110 es la suma de una serie infinita determinada por el decimal, escribimos.
597110 = 5.4 + 0.027 + 0.00027 + 0.0000027 +….
Si los términos e una sucesión infinita son alternativamente positiva y negativamente, como en la expresión.
a1 + (-a2) + a3 + (-a4) +… +[(-1)an] + ….

Para números reales positivos a2 la expresión es una serie infinita alternante y la escribimos en la forma
a1 – a2 + a3 + a4 +…. + (-1) an +…

Los tipos más comunes de series infinitas alternantes son fuentes geométricas infinitas en las que la razón común r es negativa.

Ejemplo: determinación de la suma de una serie geométrica infinita.
Encuentra la suma S de la serie geométricainfinita alternante
n=1n3 (- 2/3)n-1 = 3 – 2 + 4/3 - n/n +…+ 3 (- 2/3)n-1 + …

Solución: con la fórmula para hallar S en el teorema sobre la suma de una serie geométrica infinita, con a1 = 3 y r= -1/3 obtenemos.
S= a11-r = 31-(-2/3) = 3-3/3 = 9/5

Ejemplo: aplicación de la serie geométrica infinita
Se deja caer una pelota de hule de una altura de 10 metros. Supongamos que rebota la mitadde la distancia después de cada caída como se ilustra mediante flechas en la figura abajo. Encuentra la distancia total que recorre la pelota.

Solución: la suma de la distancia que recorre hacia abajo y la suma de las que recorre en los rebotes forman dos series geométricas infinitas:

Serie descendente: 10+5+2.5+1.25+0.625+…
Serie ascendente: 5+2.5+1.5+0.625+….

Consideramosque la distancia total S que recorre la pelota se puede encontrar agregando las sumas de estas series infinitas. Esto da.

S = 10+2[5+2.5+1.25+0.625+…]
= 10+2[5+5(1/2)+5(1/2)2+5(1/2)3+…]

Usamos la formula S= a1/(1-r)con a1 5 y r= ½ con lo que obtenemos
S= 10+2(51-1/2) = 10+2(10) = 30m.

Si n es un entero positivo y denotamos con pn al enunciado matemático (xy)n = XnYn,obtenemos esa sucesión infinita de enunciados.

Es fácil demostrar que P1 P2 y P3 son enunciados verdaderos, pero es imposible comprobar la validez de Pn para todo entero positivo n, demostrar que Pn es verdadero para toda n requiere del principio siguiente.


Principio de inducción matemática | | Si con cada entero positivo n se relaciona un enunciado P entonces todos los enunciados P...