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C´alculo Integral:
Apuntes y ejercicios
Tania Turrubiates L´opez
Primavera 2012
Cap´ıtulo 1
Introducci´on a la asignatura
1.1 Presentaci´on
Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento l´ogico, heur´ıstico y algor
´ıtmico al modelar fen´omenos y resolver problemas en los que interviene la variaci´on.
Hay una diversidad de problemasen la ingenier´ıa que son modelados y resueltos a trav´es
de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el c´alculo in-
tegral.
El problema esencial del c´alculo integral es calcular ´areas de superficies, particularmente
el ´area bajo la gr´afica de una funci´on; de manera m´as sencilla, sumar ´areas
de rect´angulos. Varios conceptos son descritos como el productode dos variables; por
ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el producto de la presi´on por
el ´area; masa como densidad por volumen. Si cada uno de los factores que componen
el producto se asocian con cada uno de los ejes coordenados; el producto se asocia en
el plano con un ´area que puede ser calculada a trav´es de una integral. En general, si se
define un plano p q,entonces la integral nos permite calcular ´areas en este plano, las
unidades del ´area resultante est´an definidas por las unidades de los factores.
1.2 Intenci´on did´actica
Buscando la comprensi´on del significado de la integral se propone un tratamiento
que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, as´ı se sugiere que la integral
definida se estudie antes de la indefinida puestoque aqu´ella puede ser abordada a partir
del acto concreto de medir ´areas.
Se incluye la notaci´on sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje
en la representaci´on de sumas de Riemann. La funci´on primitiva se define junto con
el Teorema Fundamental por estar ´ıntimamente ligados. Las integrales impropias se
ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, paraaprovechar el contexto.
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Cap´ıtulo 1. Introducci´on a la asignatura
Una vez que se abord´o la construcci´on conceptual de la integral definida, se estudian
la integral indefinida y los m´etodos de integraci´on, para tener m´as herramientas
en la construcci´on de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental.
Las aplicaciones incluidas en el temario son las b´asicas, adecuadas a lascompetencias
previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por
s´ı mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones
con la identificaci´on — por parte del alumno — de la integral en diferentes temas
de ingenier´ıa. Se incluye la serie de Taylor puesto que el c´alculo de algunas integrales
se facilita o posibilitarepresentando la funci´on a integrar como una serie de potencias.
La lista de pr´acticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva,
se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias. En
dichas actividades se especifica la participaci´on del alumno con la intenci´on de resaltar
su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento deltema con la
realizaci´on de una pr´actica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto
para llegar a lo abstracto.
1.3 Objetivos generales.
El estudiante contextualizar´a el concepto de diferencial e integral y observar´a la
relaci´on que existe entre el c´alculo diferencial e integral.
El estudiante discernir´a cu´al m´etodo puede ser m´as adecuado para resolver una
integraldada.
Aplicar´a la integral como una herramienta para la soluci´on de problemas pr´acticos
del ´area de ingenier´ıa en que se imparte esta materia, como c´alculo de ´areas,
centroides, longitud de arco y vol´umenes de s´olidos de revoluci´on.
1.4 Temario
1. Diferenciales.
a) Definici´on de diferencial.
b) Incrementos y diferenciales, su interpretaci´on geom´etrica.
c) Teoremas t´ıpicos de...