Jhonny

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Facultad de Ingenier´ Qu´
ıa
ımica.
´
Algebra Lineal
Tarea 1: Matrices y Determinantes
Teorema 1 (Leyes de los exponentes)
Si A es una matriz cuadrada y r, s son enteros, entonces


6
31. B = 
3
7

Ar As = Ar+s
(Ar )s = Ars
si adem´s A es invertible, entonces
a
−1

1. A−1 es invertible y (A−1 )

=A
n

3. Para cada escalar distinto de cero, la
matriz kA esinvertible y (kA)−1 =
1 −1
A
k
Ejercicio 1 Encontrar la inversa de
1 ex + e−x ex − e−x
2 ex − e−x ex + e−x
Ejercicio 2 Muestre que si una matriz
cuadrada A satisface A2 − 3A + I = 0, entonces A−1 =3I − A.
20
cal41

cule A3 , A−3 y A2 − 2A + I
Ejercicio 4 Sea B una matriz cuadrada de
orden n, muestre que:
T

6
7
0
6

2
3
6
4


14
6 5

3 0
2 −2



2. An esinvertible y (An )−1 = (A−1 ) para
n = 0, 1, 2, . . .

Ejercicio 3 Para la matriz A =

Ejercicio 7 Calcule los determinantes de las
siguientes matrices


−3 4 2
3 1
2. C =  6
4 −7 8
3. D =e2x e3x
2e2x 3e3x


−25
Ejercicio 8 Sea A =  546
154
Encuentre la tercera columna de
cular las otras columnas

−9
180
50
A−1


−27
537 .
149
sin cal-

Ejercicio 9 Supongaque A y B y X son matrices de n×n con A, X , y A−AX invertibles,
y suponga que
(A − AX )−1 = X −1 B

(1)

a Explique por qu´ B es invertible.
e

T

1. BB y B + B son sim´tricas.
e
2. B− B T es antisim´trica.
e
Ejercicio 5 Encuentra una matriz triangular superior que satisfaga
1 30
A=
0 −8
3

b Resuelva la ecuaci´n (1) para X . Si es
o
necesario invertir una matriz,explique
por qu´ dicha matriz es invertible
e
Ejercicio 10 Sea U una matriz cuadrada tal
que U T U = I . Muestre que det U = ±1

Ejercicio 6 ¿Bajo que condiciones la matriz
diagonal


a11 0
0A =  0 a22 0 
0
0 a33

Ejercicio 11 Sea

es invertible? Si A es invertible, encuentre la
inversa

calcule det T mediante operaciones elementales



1 a a2
T = 1 b b2 
1 c c2...
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