John Von Neumann

john vo anunció su famoso primer teorema de la incompletitud: los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad que es expresable en su lenguaje. Este resultado fue lo suficientemente innovador como para desconcertar a la mayoría de matemáticos de aquella época. Pero von Neumann, que había participado en el congreso, confirmó su fama de pensadorinstantáneo y, en menos de un mes, estuvo en disposición de comunicarle a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Ésta es, precisamente, la consecuencia que ha atraído la mayor atención, incluso si Gödel, originalmente, la consideraba como una simple curiosidad, la habría derivado independientemente, espor esta razón que el resultado es llamado el segundo teorema de Gödel, sin mención alguna a von Neumann.
Mecánica cuántica
En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert presentó su famosa lista de 23 problemas considerada central para el desarrollo de las matemáticas del nuevo siglo: el sexto problema era la axiomatización de las teorías físicas. Entre las nuevas teoríasfísicas del siglo la única que tenía todavía que recibir tal tratamiento para finales de la década de 1930 era la mecánica cuántica. De hecho, la mecánica cuántica se encontraba, en ese momento, en una condición de crisis de fundamentos, similar a aquella que pasó la teoría de conjuntos a comienzos de siglo, enfrentando problemas tanto de naturaleza filosófica como técnica; por otra parte, suaparente indeterminismo no había sido reducido, como Albert Einstein creía que debía ser en orden de que la teoría se hiciera satisfactoria y completa, a una explicación de forma determinista; además, todavía existían dos formulaciones heurísticas distintas, pero equivalentes: la supuesta mecánica matricial de Werner Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Erwin Schrödinger, pero no había todavía unaformulación teórica unificada satisfactoria.
Después de haber completado la axiomatización de la teoría de conjuntos, von Neumann empezó a enfrentarse a la axiomatización de la mecánica cuántica. Inmediatamente, en 1926, comprendió que un sistema cuántico podría ser considerado como un punto en un llamado espacio de Hilbert, análogo al espacio de fase 6N dimensional (N es el número de partículas,3 coordenadas generales y 3 momentos canónicos para cada una) de la mecánica clásica, pero con infinidad de dimensiones (correspondiente a la infinidad de estados posibles del sistema) en su lugar: las cantidades de la física tradicional (i.e. posición y momento) podrían estar, entonces, representadas como operadores lineales particulares operando en esos espacios. La física de la mecánicacuántica era, debido a eso, reducida a las matemáticas de los operadores lineales Hermitianos en los espacios de Hilbert. Por ejemplo, el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y visceversa, es trasladado a la no-conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulaciónmatemática incluía, como clases especiales, las formulaciones tanto de Heisenberg como de Schrödinger y culminó en el clásico de 1932 Las Fundamentaciones Matemáticas de la Mecánica Cuántica. De cualquier manera, los físicos, en general, terminaron prefiriendo otra aproximación diferente a la de von Neumann (la cual era considerada extremadamente elegante y satisfactoria por los matemáticos). Estaaproximación, formulada en 1930 por Paul Dirac y que estaba basada en un extraño tipo de función (la llamada delta de Dirac), fue severamente criticada por von Neumann.
De cualquier forma, el tratamiento abstracto de von Neumann le permitió también confrontar el problema extremadamente profundo y fundamental del determinismo vs. el no-determinismo y en el libro demostró un teorema de acuerdo con...