Juan

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Derivadas de orden superior

          Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y asísucesivamente hasta la enésima derivada.

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 Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones. |
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S o l u c i o n e s

 

 

 

 

 

 

 

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función yexiste su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:
 

 
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunasderivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la sección de los teoremas.
 
Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:
 

para derivadas de orden superior es de forma similar, así por ejemplo tendríamos las siguientes derivadas:
 

 
Ejemplos:
 
Dada lafunción  obtener la segunda derivada y cuarta derivada:
 

 
 
a)      Solución:
 

 
derivando

 
   b) Solución:

 
para la primera derivada obtenemos
 

 
como podemos ver, en este caso la función es derivable a cualquier orden. Al igual que en el caso anterior.
 
 
 
c).-  Solución
 

 
para la primera derivada obtenemos:
 

 
d).- Solución:
 
  
 
obteniendo la primeraderivada de la función (línea recta) obtenemos:
 

al sacar la derivada a está línea paralela al eje x, obtenemos
 

 
como podemos observar no tiene sentido sacar las derivadas de orden superior.
 

   | Funciones paramétricasEn algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma  o , como en las igualdades , sino que está determinada por un par deecuaciones en términos de una misma variable. Por ejemplo, consideremos las ecuaciones . Se tiene que a cada valor de  le corresponde un punto  del plano, el conjunto de los cuales determina una relación La siguiente tabla de valores: nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:  |
En general, las ecuaciones  funciones continuas en un intervalo  reciben el nombrede ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio . La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemploanterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función. Por ejemplo, sean . Obtenemos la siguiente tabla de valores:  |
La representación gráfica es la siguiente: |
En este caso, al sustituir  se obtiene que  que es la ecuación de la parábola con el eje  como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e"y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado. En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación. Sea  la relación con representación paramétrica . Se tiene que  Vamos a expresar la relación  utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:    de donde  es la ecuación de una circunferencia con...
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