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FRACTAL

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:*Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
*Posee detalle a cualquier escala de observación.
*Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).
*Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
*Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estascaracterísticas para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractalesnaturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

CARACTERÍSTICAS DE UN FRACTAL

Autosimilitud

Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y puedenestar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de Autosimilitud:

*Autosimilitud Exacta: Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud; exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

*Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico adiferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D. Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
*Autosimilitud Estadística: Es el tipo más débil de Autosimilitud; se exige que el fractaltenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

DIMENSIÓN FRACTAL Y DIMENSIÓN DE HAUSDORFF BESICOVITCH
Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa elespacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

*La dimensión fractal: Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte delconjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc., Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

*La dimensión de Hausdorff-Besicovitch: Tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición nosuele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

DEFINICIÓN POR ALGORITMOS RECURSIVOS

Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fractales:

Sistemas de funciones iteradas (IFS): Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del...
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