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Fundamentos del C´
alculo

Rub´en Flores Espinoza
Marco Antonio Valencia Arvizu
Guillermo D´avila Rasc´on
Mart´ın Gildardo Garc´ıa Alvarado

Proyecto FOMIX
CONACYT, Gobierno del Estado
Clave: SON-2004-C02-008

Publicado por Editorial GARABATOS
Febrero, 2008
ISBN: 970-9920-18-5
Tiraje: 1000 ejemplares

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Contenido
Presentaci´
on

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1 Una historia breve del c´
alculo1.1 El siglo XVII: Newton y Leibniz . . . . . . .
1.2 El siglo XVIII: Euler y Lagrange . . . . . . .
1.3 El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass
1.4 El siglo XX: Lebesgue y Robinson . . . . . .

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4 Fundamentos del C´
alculo4.1 Sucesiones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Propiedades de las sucesiones convergentes . . . . . . . . . .

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2 Los n´
umeros reales
2.1 Expansiones decimales . . . . . . . . . . .
2.2 El Sistema de los N´
umeros Reales . . . . .
2.2.1 Operaciones con los n´umeros reales
2.2.2 El orden de los n´
umeros reales . .
2.2.3 Valor absoluto de un n´
umero real .
2.3 Completez de los n´
umeros reales . . . . .
2.4 La Recta Real . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . .

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3 Variables y funciones
3.1 El concepto de variable y el de funci´on . . . .
3.1.1 Gr´afica de una funci´on . . . . . . . . .
3.2 Operaciones con funciones . . . . . . . . . . .
3.3 Funciones racionales y trigonom´etricas . . . .
3.3.1 Medici´
on de ´
angulos: radianes . . . .
3.3.2 Las funciones trigonom´etricas . . . . .
3.3.3 Las funciones trigonom´etricas inversas
Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . .

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Contenido
4.3

Sucesiones mon´otonas . . . . .. . . . . . .
4.3.1 Criterio de convergencia de Cauchy .
4.4 L´ımite de una funci´on en un punto . . . . .
4.5 Continuidad de funciones . . . . . . . . . .
4.6 Continuidad en intervalos compactos . . . .
Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . .

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5 Medida de la raz´
on de cambio: la derivada
5.1 Definici´on de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Interpretaci´on geom´etrica de la derivada . . . . . .
5.1.2 Derivada de algunas funciones elementales . . . . .
5.1.3 Reglas b´asicas de la derivaci´
on de funciones . . .
5.1.4 Derivadas de funciones racionales, trigonom´etricas
y trigonom´etricasinversas . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Diferencial de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 C´
alculo de razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios y problemas del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . .
6 Teorema del valor medio y sus aplicaciones
6.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . ....