La barra de margarina (problemas de calculo)

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Problema 1. La barra de margarina.
Una fábrica de margarina vende su producto que tiene forma de un prisma de base cuadrada cuyo volumen es de 108 centímetros cúbicos. Determina las dimensiones de la barra que minimizan la cantidad de papel de la envoltura (las dimensiones con las que se gastaría menos papel). Además, traza la recta tangente en el punto que represente la solución del problema.Valor de x= | 2x² | 432/x | 2X² + 432/X |
5 | 50 | 86.4 | 136.4 |
| | | |
| | | |
RESULTADO ÓPTIMO | 2x² | 432/x | 2X² + 432/X |
4.76220314 | 45.35715749 | 90.7143159 | 136.0714734 |

Problema 2. La lata para envasar chocolate.
Una compañía usa latas de forma cilíndrica para envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicenel costo de la lata (es decir, el área mínima de hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos. Traza la recta tangente a la curva del problema en el punto que representa la solución.

V: πr2h = 909.2
 h = 909.2/(πr2)
El área de la lata es el área de las bases más el área lateral, es decir, Z(r) = 2•π r2 + 2 π r h

Ysustituyendo la h, 

Z(r) = 2 π r2 + 2 π r • 909.2/ (π r2) = 2 π r2 + 1818.4 / r

El área será mínima para el valor de r que anule la derivada:

Z’(r) = 4 π r – 1818.4 / r2 = 0

4 π r3 = 1818.4

r3 = 1818.4 /(4 π) = (aproximadamente) = 144.7036742

r = 5.25

Y por tanto h = 909.2/(πr2) = 909.2/(π 5.252) = (aproximadamente) = 10.50

Problema 3. La caja para empacar harina.
Se pretendeempacar harina en cajas con tapadera, las cuales se fabricaran usando laminas de cartón rectangulares de 40 cm de largo por 24 de ancho, cortando en ellas cuadrados iguales y doblando.
cortes

h
h

24 cm
a
a20 m. 20cm.

Denotando x el lado de los cuadrados que hay que cortar, el volumen (V) de la caja viene dado por

V = (20 - 1.5x) (24 - 2x) x

V = (480 - 40x - 36x + 3x²) x

V = (480 - 76x + 3x²) x

V = 480x - 76x² + 3x³

Derivando para hallar el punto crítico

V´(x) = 480 - 152x + 9x²

Igualando a cero

9x² - 152x + 480 = 0

Ecuacióncuadrática que por su resolvente x = [-b±√(b²-4ac)]/2a, nos deja las raíces

x1 = 12.68
x2 = 4.20

Dado que primera raíz da un volumen negativo, consideraremos solo la segunda.
Sacando la derivada segunda resulta

V"(x) = - 152 + 18x

la cual para el valor hallado nos da:

V"(4.20) = - 152 + 18 . 4.20 = - 76

A) ¿Cuánto mide el lado de los cuadrados que se cortan y que hacen que el volumen dela caja sea máximo?
4.20 cm
b) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen?
Ancho = 20 - 1.5 . 4.2 = 13.70 cm
largo 24 - 2. 4.2 = 15.60 cm
altura = 4.20 cm

c) ¿Cuál es el volumen de la caja?
(20 - 1.5 . 4.2) (24 - 2 . 4.2) 4.2 = 897.62 cm³
Problema 4. El granjero.
Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla paralela a la altura delrectángulo. El granjero cuenta para la cerca con 240 metros lineales incluyéndola valla. Encuentra las dimensiones del corral de área máxima que puede construir.
P= 2x+2y
A= x y
120y – y*2 240= 2x + 24
0= 120 -2y A= 240-2y /2 240- 2y=2x
2y -120 X=240-2 (60) /2 240-2y/2 = x
Y= 120/2 x=120/2 240y/2 – 2y*2/2
Y=60 x=60 = 120y –y*2

Problema 5. La lata para envasar aceite.
Una compañíafabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de un litro de capacidad para envasar un producto. Encuentra las dimensiones que debe tener la lata que requiera la mínima cantidad de material de construcción.
V=1000cm3

1000cm3= π*r2*h; despejo h: h=1000/πr2

Sup=2*πr2 + 2πrh; porque son dos tapas y una superficie lateral.

Remplazo: Sup= 2*πr2 + 2πr*1000/*πr2; simplifico y factorizo:...
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