La Chiluda

ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NAYARIT

IRVIN ALBERTO SERAFIN PALOMERA

INGIENERIA EN CONTROL Y COMPUTACION

ESPACIOS VECTORIALES:
Un espacio Vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitosiniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del sigloXIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espaciosvectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolverecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

COMBINACIONES LINEALES:
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe unaforma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar .

INDEPENDENCIA LINEAL:
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes noson proporcionales.
Ejemplo: Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.: = (3, 1) y = (2, 3)

BASE Y DIMENSION :
Definición: Un conjunto de vectores {v1, v2, v3,…, Vn) forma una base para V si :{v1, v2, v3, …, vn} son linealmente independientes{v1, v2, v3, …, vn} genera a V
Ejemplos (para discusión)
1) Sean e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) vectores en R2. Entoncesforman una base para R2.


2)Existe un teorema que señala que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn. Por tanto, todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn forma una base en Rn, En Rn se define: e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 0, 1). A esta base se le llama la base“estándar” o “usual” de Rn.

3) Los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 5) generan a R3 y son linealmente independientes. Luego forman una base para R3.

4) Sean (0, 1) y (1, 1) elementos de R2. Estos vectores son linealmente independientes y generan a R2. Por tanto, forman una basa en R2.

5) Los vectores (1, 0, 0) y (0, 1, 0) no forman una base en R3. Podemos encontrar a vectores en R3 queno se pueden expresar como combinación lineal de estos dos. Por ejemplo, el vector (0, 0, 1) elemento de R3 no puede expresarse como combinación lineal de ellos dos:
(0, 0, 1) = a(1, 0, 0) + b (0, 1 = (a, 0, 0) + (0, b, 0) = (a, b, 0) Lo cual implica que 1 = 0 y eso no es cierto.
6) Los polinomios 1, x, x2, x3 son linealmente independientes en P3. Estos polinomios también generan l...