La circunferencia en el plano cartesiano

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Jaime Bravo Febres

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO
“Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y
aunque sea débil se transformará en fuerte”
Leonardo Da Vinci

TRASLACION DE EJES
En el estudio de las cónicas a veces es conveniente “mover” los ejes cartesianos para que la
curva que estamos estudiando quede en una posición más “fácil” y suecuación sea más simple.
Los movimientos que se pueden hacer con los ejes cartesianos son de dos tipos: traslaciones y
rotaciones ya que estos movimientos no alteran las distancias entre puntos ni los ángulos entre
rectas; a este proceso de cambiar de un par de ejes a otro se le llama transformación de
coordenadas.
Consideremos un sistema coordenado en el plano cartesiano. Tomemos un puntoO’ (xo , yo)
distinto del origen, tracemos un nuevo par de ejes cartesianos X’ y Y’ con origen O’ , paralelos a
los ejes X y Y originales. Por tanto casa punto P del plano puede expresarse con coordenadas en
términos de X y Y ó en términos de X’ y Y’ .
Las coordenadas de cada punto del plano se cambian bajo una traslación de ejes. Para ver como
cambian las coordenadas, examinamos la figura 1 Lascoordenadas del origen O’, referidas a los
ejes originales, se representan con (h, k). Así, los nuevos ejes se pueden obtener desplazando los
ejes anteriores h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, manteniendo sin cambio
de direcciones. Se llamará x, e y las coordenadas de cualquier punto P con respecto a los ejes
anteriores (sistema primitivo) y, x’ e y’ las coordenadas de Pcon respecto a los nuevos ejes.
P(x,y) ≈ (x’, y’)

O

O’ (h,k)
k
h
M

Q

N

Es evidente que a partir de la figura que:

x = ON = OM + O'Q = h + x'
y = NP = MO' + QP = k + y'
Por consiguiente:
x = x’ + h ;

y = y’ + k

Estas fórmulas relacionan las “viejas” coordenadas (o anteriores) con las “nuevas” coordenadas;
éstas valen para todos los puntos del plano donde el nuevoorigen O’ es cualquier punto del
plano. En consecuencia, las sustituciones x’ + h por x y y’ + k por y en las ecuaciones de la
curva referida a los ejes originales, da la ecuación de la misma curva referida a los ejes
trasladados. Es indispensable que cada conjunto de ejes se denomine de manera adecuada,
porque de no ser así, una gráfica se convierte es una confusión de trazos y líneas.
Ejemplos:1. Encuentre las nuevas coordenadas del punto P(4, −2) si el origen se mueve a (−2, 3) mediante
una traslación.
Jbf2649@gmail.com

Jaime Bravo Febres

Solución
Como hay que encontrar las nuevas coordenadas del punto dado, se escriben las fórmulas de
la traslación como x’ = x − h e y’ = y − k. Las coordenadas primitivas del punto dado son: x =
4; y = −2. Haciendo las sustitucionescorrespondientes se tiene:
x’ = 4 − (−2) = 6 ;
Y’

y’ = −2 − 3 = −5

Y


O’ (−2,3)

X’

4
O
−5´

X
−2

P(4, −2)

Por tanto las nuevas coordenadas del punto P son (6, −5), tal como se muestra en la figura de
arriba.
2. Determinar las coordenadas del punto Q(10, 5) cuando los ejes coordenados son trasladados
al nuevo sistema de origen O’(−4, 2)
Solución
Teniendo en cuentaque:
x = x’ + h ; y = y’ + k ; se tiene:
x = 10 ; y = 5
h = −4 ; k = 2 (nuevo origen)
entonces:
x’ = x − h = 10 − (−4 ) = 14
y’ = y − k = 5 − (2) = 3
Por tanto las nuevas coordenadas del punto Q es: (14, 3)
3. Dar las coordenadas de los puntos A(5, 2); B(0, 0) y C(4, 6) respecto al sistema de
coordenadas X’Y’ con origen en C(4, 6)
Solución
Teniendo en cuenta que: x = x’ + h ;
a) x = 5 ; y= 2 (coordenadas de A)
h = 4 ; k = 6 (nuevo origen)
entonces:
x’ = x − h ; y’ = y − k
=5−4;
=2−6
=1
;
= −4
⇒ (x’, y’) = (1, −4)
b) x = 0 ; y = 0 (coordenadas de B)
h = 4 ; k = 6 (nuevo origen)
entonces:
x’ = x − h ; y’ = y − k
=0−4;
=0−6
= −4
;
= −6
⇒ (x’, y’) = (−4, −6)

Jbf2649@gmail.com

y = y’ + k. Se tiene:

Jaime Bravo Febres

c) x = 4 ; y = 6 (coordenadas de...
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