La Curva Cicloide
Páginas: 3 (563 palabras)
Publicado: 7 de febrero de 2013
La curva cicloide
Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.
Ecuación paramétricaSi la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)Donde t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2aπ, y una altura de 2a.
Ecuación cartesiana
Si se despeja la variable t en laecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:
x=aarccos(1-ya)-2ay-y2
Donde el único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable yen el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.
Si se desea emplear el enésimo semibucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:
x=aπn+12-1n-1-(-1)n arccos (1-ya- 2ay-y2 ]
Ecuación intrínseca
La ecuación en forma intrínseca es:
ρ2+s2=16a2
Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea
Tipos de cicloideDependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:
* Cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),
* Cicloidecomún, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),
* Cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).
Donde la circunferencia tiene radio a, y la distanciadel centro al punto P es b.
Propiedades de la cicloide
Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemos que es una función de t.
dydx=dydtdxdt=b sin b-b cos t=sint1-cos t
Es claro que las tangente son horizontales cuando dydx=0, esto es, cuando sint=0 y 1-cost ≠0, lo que ocurre en todos los valores de t de la forma t=2n+1π paran∈Z.
Área bajo un arco de...
Una cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.
Ecuación paramétricaSi la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:
x=a(t-sint)
y=a(1-cost)Donde t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2aπ, y una altura de 2a.
Ecuación cartesiana
Si se despeja la variable t en laecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:
x=aarccos(1-ya)-2ay-y2
Donde el único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable yen el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.
Si se desea emplear el enésimo semibucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:
x=aπn+12-1n-1-(-1)n arccos (1-ya- 2ay-y2 ]
Ecuación intrínseca
La ecuación en forma intrínseca es:
ρ2+s2=16a2
Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea
Tipos de cicloideDependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:
* Cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a),
* Cicloidecomún, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b),
* Cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (b > a).
Donde la circunferencia tiene radio a, y la distanciadel centro al punto P es b.
Propiedades de la cicloide
Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemos que es una función de t.
dydx=dydtdxdt=b sin b-b cos t=sint1-cos t
Es claro que las tangente son horizontales cuando dydx=0, esto es, cuando sint=0 y 1-cost ≠0, lo que ocurre en todos los valores de t de la forma t=2n+1π paran∈Z.
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