La diferencial

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LA DIFERENCIAL
Si la función y = f (x) admite derivada finita en un punto, su incremento puede expresarse así:
∆y = f´(x) . ∆x + ω . ∆x
siendo ω un infinitésimo para ∆x →0. Al primer término se le llama diferencial de y, y se escribe:
dy = f´(x) . ∆x
La diferencial en el punto de una función derivable en ese punto, es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable.En particular, considerada x como función de x, por ser su derivada 1, será: dx = ∆x; luego, es indiferente poner ∆x, o bien d x, siendo por tanto:
dy = y´ dx
es decir que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.
Considerando tres variables:
1º.- El incremento ∆x, de la variable independiente, que coincide con sudiferencial.
2º.- El incremento ∆y de la función.
3º.- La diferencial dy de la función.

DEFINICIONES DE f ∆ x y f ( x ) ∆ x

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original.

Ejemplo:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.
INTERPRETACION GRAFICA DE y
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra unpunto x + h.
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
[pic][pic]Diferencial de una función en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) • h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) • h
REGLA DE LADIFERENCIACION

1) Derivada de una constante: [pic](c) = 0

2) Derivada de una potencia: [pic]( xn ( = nxn-1 ( n racional)

3) Regla del múltiplo constante:
[pic]( c f(x) ( = c f ´(x)

4) Derivada de una suma o resta :
[pic] ( f(x) ( g(x) ( = f ´(x) ( g ´(x)

5) Derivada de un producto:
[pic] ( f(x) ( g(x) ( = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x)

6)Derivada de un cociente:
[pic]( f(x) / g(x) ( = [pic]

7) Derivadas de funciones trigonométricas:
[pic](sen x( = cos x
[pic](cos x( = -sen x
[pic](tan x( = sec2 x
[pic](sec x( = sec x tan x
[pic](csc x( = -csc x cot x
[pic](cot x( = -csc2 x
8) Regla en cadena: Si y = f(u) es una función diferenciable en u y u = f(x) es una función diferenciable en x, entonces:
[pic](f ( g(x) )(= f ´(g(x)) g´ (x)
o [pic]= [pic]•[pic]

9) Regla general de las potencias: [pic]( un( = n un-1 ( u´
( u es una función diferenciable en x y n es un número racional )
LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACION DEL INCREMENTO
Para funciones de una variable [pic], se define el incremento de [pic]como
[pic]
y la diferencial de [pic]como
[pic]
[pic]representa elcambio en la altura de la curva [pic]y [pic]representa la variación en [pic]a lo largo de la recta tangente cuando [pic]varía en una cantidad [pic].
En la siguiente figura se muestra [pic].
[pic]

Observe que [pic]se aproxima a cero más rápidamente que [pic], ya que
[pic]
y al hacer [pic], tenemos que [pic].
Por tanto

[pic]

donde [pic]conforme [pic].

Ahora consideremos una funciónde dos variables [pic].
Si [pic]y [pic]son incrementados [pic]y [pic], entonces el correspondiente incremento de [pic]es
[pic]
Con lo cual [pic]representa el cambio en el valor de [pic]cuando [pic]cambia a [pic]

LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACION DEL INCREMENTO

Para funciones de una variable [pic], se define el incremento de [pic]como
[pic]
y la diferencial de [pic]como
[pic]...
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