la divisibilidad

Divisibilidad
Introducción:
La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varios.
El reparto, unas veces, era igual para todos (seobtenía un número exacto de cosas para cada uno), y otras veces no era igual, dependiendo de que el número de cosas a repartir se pudiera dividir, exactamente, entre el número de los que iban a recibir esas cosas.

Para poder repartir de forma equitativa, es decir en partes iguales, necesitamos conocer el concepto de Divisor.

Llamamos Divisor de un número entero a cualquier otro número porel cual se puede dividir, exactamente, a ese número. Así pues, diremos que 4 es un divisor de 16 porque al dividir 16 entre 4 obtenemos de resto 0.

Para encontrar los divisores de un número, realizamos todas las divisiones exactas que tengan a este número como dividendo. Es decir, buscamos todos los números que lo dividen exactamente.
15 : 1 = 15,  15 : 3 = 5,  15 : 5 = 3,  15 : 15 = 1
Portanto, los divisores de 15 son 1, 3, 5, 15

27 : 1 = 27,  27 : 3 = 9,  27 : 9 = 3,  27 : 27 = 1
Y los divisores de 27 son 1, 3, 9, 27
Todo número entero siempre tiene por divisores a la unidad y a él mismo, y si no tiene ningún otro divisor se le llama Número Primo.

Los números primos son infinitos. Si un número no es primo diremos que es compuesto. El caso de los números 0 y 1 es especial,puesto que no se consideran primos ni compuestos.
Otro concepto importante, relacionado con el de divisor, es el de Múltiplo de un número, que es el número que obtenemos al multiplicar a ese número por otro número entero. Así, diremos que 18 es múltiplo de 9, porque 9 x 2 = 18.

Para hallar los múltiplos de un número, vamos multiplicando a ese número por la sucesión de números enteros. Como hayinfinitos números enteros, los múltiplos de un número también son infinitos.
La relación entre Múltiplo y Divisor es parecida a la relación entre Padre e Hijo. Si José es padre de Luis, Luis es hijo de José. Por tanto, se cumple la relación siguiente: Si el número 21 es un Múltiplo de 7, el número 7 es un Divisor de 21.
Desarrollo del tema:
Para facilitar la búsqueda de los divisores de unnúmero, es muy importante conocer los Criterios de Divisibilidad, que son unas reglas que permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.


Criterios de Divisibilidad por los primeros números primos
Número
Regla
2
Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.
20, 72, 134, 216, 3218, 58616
3
Un número es divisible por 3 si la suma desus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras).
12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6)
5
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
10, 25, 40, 65, 125, 3215
7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso,
84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7 
2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7
11
Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11.
132→(2+1 = 3; 3-3 =0)⇔2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11) 
71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)



También es importante, para la búsqueda de los divisores de un número, conocer las reglas de divisibilidad de los primeros números compuestos.


Criterios de Divisibilidad por los primeros números compuestos
Número
Regla
4
Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es...