La Ecuacion De Navier-Stokes.

Monograf´ de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza. 26: 31–56, (2004). ıas

La ecuaci´n de Navier-Stokes. o Un reto f´ ısico-matem´tico para el siglo XXI a
Juan Luis V´zquez a
Departamento de Matem´ticas. Univ. Aut´noma de Madrid a o

Resumen Examinamos en estas notas el reto matem´tico de las ecuaciones de Naviera Stokes en el marco de Los Problemas Clay y concedemos importancia alhecho de que un problema de ´ ındole intelectual pura tenga relaci´n con una problem´tica que o a afecta a la F´ ısica, a la Ingenier´ y a la vida diaria de la Sociedad. En el terreno de ıa las matem´ticas puras, que es aquel en que se juega el reto, intentamos explicar cu´l a a es la dificultad que ha eludido a algunas de las mejores mentes del mundo cient´ ıfico por siglo y medio. En concreto,planteamos el problema bajo el punto de vista de los problemas de explosi´n o blow-up. o

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Retos matem´ticos. Los “Problemas del Milenio” a Las matem´ticas tienen m´ltiples facetas, desde la construcci´n de sofisticadas teor´ a u o ıas

intelectuales a la modelizaci´n del mundo real, de Pit´goras a Newton, de Gauss a Eino a stein, etc. Hay en las mejores matem´ticas una tensi´n permanente entre elarte y la a o utilidad, entre las capacidades de crear y descubrir en el reino matem´tico y las de exa plicar y controlar el mundo que nos rodea1 . Pero las matem´ticas son una cultura con a muchas aspectos y matices y uno de los ingredientes que m´s fascina a los profesionales a es el reto de los problemas abiertos: el largo discurrir, a veces arduo, a veces tranquilo, de la construcci´n de unateor´ matem´tica se va encrespando en dificultad seg´n se o ıa a u avanza y en casos frecuentes (y al parecer de los matem´ticos, afortunados) cristaliza en a una dificultad muy espec´ ıfica, una dura roca, que pide a gritos el concurso a una mente excelente o la combinaci´n de varias de tales mentes, para que ataquen al monstruo, lo o pongan a nuestros pies y nos permitan as´ seguir avanzando. ı
1Una detallada discusi´n de esta dualidad puede encontrarse en [32]. o

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El a˜o 1900 fue un a˜o extraordinario para esa parte de la Humanidad (m´ n n ınima, pero entra˜able para nosotros) que se apasiona por los grandes problemas abiertos matem´ticos. n a En efecto, en ese a˜o el gran matem´tico alem´n David Hilbert plante´ en el Congreso n a a o Internacional de Par´ sus famosos 23problemas que tuvieron en el mundo matem´tico ıs a del siglo XX tanta o m´s resonancia que las tesis de Lutero en el mundo norteuropeo2 . a Al cumplirse un siglo de este notable hecho, diversas iniciativas pretenden dar la r´plica e al gran hombre, cf. por ejemplo los libro de Arnold-Atiyah-Lax-Mazur [2], la lista de Smale en ese volumen, o el libro de Engquist-Schmid [10]. El mi´rcoles 24 de mayo de2000 se e anunci´ en el Coll`ge de France de Par´ el Conjunto de los 7 problemas matem´ticos o e ıs a que constituyen los Millennium Prize Problems, patrocinados por el Clay Mathematics Institute. Recordando a Hilbert, pretend´ reflejar 7 de los m´s importantes problemas ıa a abiertos de la ciencia matem´tica al comienzo del nuevo siglo3 . Estos problemas recorren a las diversas areas lasmatem´ticas puras y aplicadas y son ´ a 1. P versus NP (Teor´ de la computaci´n) ıa o 2. Conjetura de Hodge (Geometr´ algebraica) ıa 3. Conjetura de Poincar´ (Geometr´ y topolog´ e ıa ıa) 4. Hip´tesis de Riemann (Teor´ de n´meros y An´lisis) o ıa u a 5. Existencia de Yang-Mills y salto de masa (F´ ısica te´rica) o 6. Existencia y regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes (Mec´nica de Fluidos a yEDPs) 7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (Geometr´ aritm´tica algebraica). ıa e Por el cuidado en la selecci´n de problemas, por la seriedad con que procede la Fundaci´n o o y en vista de la reacci´n habida en los cuatro a˜os pasados, esta lista parece destinada o n a ser famosa e influyente. De acuerdo con los tiempos de optimismo y expansi´n que o corren para las matem´ticas, la lista incluye...