la elipse





La elipse
 La elipse es una figura plana que esta caracterizada por la siguiente propiedad:
 Está constituida por todos los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a un par de puntos fijos F1 y F2, es constante. Los puntos F1 y  F2 son llamados los focos de la elipse.
El punto medio del segmento F1,F2 se llama centro de la elipse y en este caso es el punto (0,0).Componentes de la elipse

Focos: Son los puntos fijos F1y F2.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario: Es la mediatriz del segmento F1, F2.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos PF1 y PF2.

Distancia focal: Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c esel valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: (A1, A2) y (B1, B2).

Eje mayor: Es el segmento A1, A2 de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor: Es el segmento B1, B2 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen el eje mayor o el eje menor.Centro de simetría: coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

La ecuación de la elipse
Ecuación general: Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse desarrollamos la ecuación ya conocida en su forma común

Haciendo las operaciones tenemos


Desarrollando

Quitando paréntesis

Ordenando

Vemos que
A= D=-2h
B=0 E= -2k
C= F=
Sustituyendo en (I) obtenemos:
Ax² + By² + Cx + Dy + E+F = 0
La ecuación general de la elipse.
Ax² + By² + Cx + Dy + E+F= 0
Ecuación canónica: La ecuación canónica de una elipse con centro en el origen de coordenadas, eje mayor igual a 2a y eje menor igual a 2b, y con eje mayor sobre el eje de las abscisas, tiene la forma:Si la elipse tiene su centro en un punto (h, k) ≠ (0,0), y su eje mayor es paralelo al eje de las abscisas, entonces su ecuación canónica es:

Aquí a y b tienen el mismo significado que antes. 


Cuando la elipse tiene su centro en el punto (h, k) ≠ (0, 0)  y su eje mayor es paralelo al eje de las ordenadas, su ecuación canónica tiene la forma:





Ejemplo: La elipse tiene sucentro en el punto (-2,1) y su eje es paralelo al eje de las abscisas. Como la longitud del eje mayor es igual a 4 unidades, los vértices son:(-4,1), (0,1), se tiene que 2a = 4, por lo tanto, a = 2.

El eje menor tiene longitud 2 y por lo tanto b = 1.


 La ecuación canónica de la elipse es: 

 

Esta ecuación se puede llevar a su forma general: 


Multiplicando ambos miembros por 4,se obtiene: 







Ecuación de la recta tangente a una elipse

Ecuación de una tangente a una elipse:


Ejemplos:
 1) Determinar una ecuación de la línea recta tangente a la elipse descrita por la ecuación 4(x+1)2+9y2=36 en el punto de coordenadas (-1,2).
Encontrar la ecuación de la línea tangente la elipse: 4(x+1)2+9y2=36 en el punto A (-1,2):
Si la ecuación laacomodamos de la forma

Entonces podemos conocer el centro de la elipse: C (h, k)=C (-1,0), entonces como el punto que es tangente a la elipse está en el punto A (-1,2) y éste está alineado con el centro, la línea que es tangente a la elipse en ese punto es horizontal, por lo tanto la ecuación de la tangente es:
y=2

Para mostrarlo gráficamente tenemos:
Solución:
La Ecuación de la tangente ala elipse descrita por: 4(x+1)2+9y2=36
Es la línea recta: y=2
2)  Hallar unas ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la elipse descrita por la ecuación 9x2+4y2-8x-4y=0 de tal forma que el valor de la pendiente de dichas líneas rectas sea igual a m = –3.
Como conocemos la pendiente de las ecuaciones entonces podemos plantear la ecuación a partir de la ecuación de la recta pendiente que...