La Hiperbola
Páginas: 12 (2957 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2012
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA
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7.1 DEFINICIONES
LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos , es constante e igual a 2a. La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la hipérbola es la siguiente: * La letra a representa la distancia que hay desde elcentro hasta cada extremo central de cada rama de la hipérbola. Ver la figura 7.1. * La letra b representa una distancia imaginaria, la cual está regida por la relación de las constantes a, b y c, que un poco más adelante se definirá. * La letra c representa la distancia que hay desde el centro hasta cada foco. Las características de una hipérbola mostradas en la figura 7.1 son: * La distancia desu centro a los focos, llamada c (minúscula). * La distancia de su centro a los vértices, llamada a. * Eje real: Es la distancia de un vértice hasta el otro. * Distancia focal: Es la distancia de un foco hasta el otro.
a c eje imaginario
lado recto
b V1 f1 eje real
tro en
V2
f2 b
c
figura 7.1
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LA HIPÉRBOLA
* Eje imaginario: Es la distancia 2b. El valor de bsale de una relación pitagórica entre las constantes a y c, dada más adelante. * La posición del centro dada, como en todas las cónicas anteriores que poseen al menos un término al cuadrado, por ( h, k ). * Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje real y que pasa por lo focos. * Eje focal: Es el eje por donde pasan los dos focos y los dos vértices. Hay dos posibilidades de obtener unahipérbola: horizontal o vertical. Todas esas características están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que de hecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical. Podrá verse que hay varios aspectos que son muy semejantes a la elipse, inclusive en la ecuación particular existen muchas similitudes. Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que porel teorema de Pitágoras está dada por la relación
c2 = a 2 + b2
de donde, despejando cada literal, se obtiene:
c= a= b=
a 2 + b2 c2 − b2 c2 − a2
A partir de las coordenadas del centro
( h, k ) , de la longitud del semieje real
a y de la
longitud del semieje imaginario b se pueden obtener o deducir todas las características anteriores, las cuales están dadas en la ecuaciónparticular de la hipérbola, que de hecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical. Para saber si se trata de una hipérbola horizontal o vertical, basta observar las dos fracciones de la ecuación particular, las cuales una debe ser positiva y la otra negativa. La que queda positiva indica la variable sobre la que está el eje focal.
INSTITUTO VALLADOLIDPREPARATORIA
Página 123
La ecuación particular de la hipérbola es:
( x − h)
a2
o bien
2
−
2
(y − k)
b2
2
=1
2
si el eje focal es horizontal
(y − k)
a2
−
( x − h)
b2
=1
si el eje focal es vertical
Como en las anteriores cónicas con términos al cuadrado, h significa el desplazamiento horizontal del centro y k el desplazamiento vertical del centro. Elsignificado de las letras a y b de los denominadores están definidos en la figura 7.1. La hipérbola tiene asociadas dos líneas rectas a las cuales parece irse pegando más y más la curva, sin llegar jamás a cruzarse. A esas rectas, mostradas en la figura 7.2, se les llama asíntotas. En general, se le da el nombre de asíntota 5 a toda línea recta que, prolongada, se acerca continuamente a una curvasin llegar jamás a encontrarla. Las asíntotas tienen por ecuaciones:
figura 7.2
y−k =±
b ( x − h) a
si el eje real es paralelo al eje X. Obsérvese que la pendiente es m =
b a
y−k =±
a ( x − h) b
si el eje real es paralelo al eje Y. Obsérvese que la pendiente es m =
a b
5
Asíntota viene del griego asumptutoz, que significa “que no coincide”.
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7.1 DEFINICIONES
LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos , es constante e igual a 2a. La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la hipérbola es la siguiente: * La letra a representa la distancia que hay desde elcentro hasta cada extremo central de cada rama de la hipérbola. Ver la figura 7.1. * La letra b representa una distancia imaginaria, la cual está regida por la relación de las constantes a, b y c, que un poco más adelante se definirá. * La letra c representa la distancia que hay desde el centro hasta cada foco. Las características de una hipérbola mostradas en la figura 7.1 son: * La distancia desu centro a los focos, llamada c (minúscula). * La distancia de su centro a los vértices, llamada a. * Eje real: Es la distancia de un vértice hasta el otro. * Distancia focal: Es la distancia de un foco hasta el otro.
a c eje imaginario
lado recto
b V1 f1 eje real
tro en
V2
f2 b
c
figura 7.1
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LA HIPÉRBOLA
* Eje imaginario: Es la distancia 2b. El valor de bsale de una relación pitagórica entre las constantes a y c, dada más adelante. * La posición del centro dada, como en todas las cónicas anteriores que poseen al menos un término al cuadrado, por ( h, k ). * Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje real y que pasa por lo focos. * Eje focal: Es el eje por donde pasan los dos focos y los dos vértices. Hay dos posibilidades de obtener unahipérbola: horizontal o vertical. Todas esas características están dadas en la ecuación particular de la hipérbola, que de hecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical. Podrá verse que hay varios aspectos que son muy semejantes a la elipse, inclusive en la ecuación particular existen muchas similitudes. Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que porel teorema de Pitágoras está dada por la relación
c2 = a 2 + b2
de donde, despejando cada literal, se obtiene:
c= a= b=
a 2 + b2 c2 − b2 c2 − a2
A partir de las coordenadas del centro
( h, k ) , de la longitud del semieje real
a y de la
longitud del semieje imaginario b se pueden obtener o deducir todas las características anteriores, las cuales están dadas en la ecuaciónparticular de la hipérbola, que de hecho son dos, según se trate de una hipérbola horizontal o de una hipérbola vertical. Para saber si se trata de una hipérbola horizontal o vertical, basta observar las dos fracciones de la ecuación particular, las cuales una debe ser positiva y la otra negativa. La que queda positiva indica la variable sobre la que está el eje focal.
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La ecuación particular de la hipérbola es:
( x − h)
a2
o bien
2
−
2
(y − k)
b2
2
=1
2
si el eje focal es horizontal
(y − k)
a2
−
( x − h)
b2
=1
si el eje focal es vertical
Como en las anteriores cónicas con términos al cuadrado, h significa el desplazamiento horizontal del centro y k el desplazamiento vertical del centro. Elsignificado de las letras a y b de los denominadores están definidos en la figura 7.1. La hipérbola tiene asociadas dos líneas rectas a las cuales parece irse pegando más y más la curva, sin llegar jamás a cruzarse. A esas rectas, mostradas en la figura 7.2, se les llama asíntotas. En general, se le da el nombre de asíntota 5 a toda línea recta que, prolongada, se acerca continuamente a una curvasin llegar jamás a encontrarla. Las asíntotas tienen por ecuaciones:
figura 7.2
y−k =±
b ( x − h) a
si el eje real es paralelo al eje X. Obsérvese que la pendiente es m =
b a
y−k =±
a ( x − h) b
si el eje real es paralelo al eje Y. Obsérvese que la pendiente es m =
a b
5
Asíntota viene del griego asumptutoz, que significa “que no coincide”.
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