La Hiperbola

La hipérbola
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

La hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de todos los
puntos (x,y) en el plano, tales que la diferencia
positiva entre las distancias de (x,y) a un par
de puntos fijos distintos (los focos) es igual a
una constante.

Representamos a los focos como F(c,0) y F’(-c,0)
y a la constante como 2a. Si (x,y)representa un
punto de la hipérbola, que se muestra a
continuación:

 x  c

2

 x  c

 y2 

2

 x  c2  y 2

4a 2  4cx

  x  c   y 2 a 
2

cx
a

c2 x2
x  2cx  c  y a  2cx  2
a
c2  a2 2
2
2
2
x

y

c

a
a2 2
x
y2
 2
1
2
2
a
c  a
2

2

2

2

2

 y 2 2a

 y 2   x  c   y 2 2a

x 2  2cx  c 2  y 2 x 2  2cx  c 2  y 2 4a
4a

 x  c

2

 x  c

2

 y 2 4a 2

En el triángulo PCC’ de la figura anterior
PC '  PC  CC '

PC '  PC  CC '
2 a  2c
ac
c2  a2  0

Sea b2=c2-a2
Entonces

x2 y2
 2 1
2
a
b

 El eje x que contiene dos
puntos de la hipérbola se
llama eje transversal; el
eje y, eje conjugado.
 Los puntos (a,0) del eje
transversal
son
los
vértices, y el punto de
intersección de los ejes
(0,0), se llama centro.

 Un punto (x,y)está en la hipérbola con vértices
(a,0) y focos (c,0) si y solo si satisface la
ecuación
x
y
2

a

2

2



b

2

1

• En la cual b2=c2-a2.
• Para toda hipérbola existen dos líneas a las que la
curva se acerca cada vez más en sus extremos. A estas
rectas se les denomina asíntotas.
• Debemos decir que las parábolas no tienen asíntotas,
por consiguiente , una hipérbola no es, como podría
suponerseal ver diagramas mal trazados, un par de
parábolas.

La hipérbola representada por
b
x
y
y


x

1, o,
a
2

2

a2

b2

2

 a2

Tiene asíntotas representadas por
Vamos a suponer que

y

b 2
x  a2
a

b
y  x
a

y

b
y x
a

Para valores positivos de x (primer cuadrante). Para
un valor dado de x veamos la diferencia d, entre las
ordenadas de los bpuntos
y la recta.
b de la hipérbola
b



d x
x2  a2  x 
a
a
a

x2  a2

Multiplicamos el numerador y el denominador por
obtenemos
b x2   x2  a2 
ab
d

a x x  a
2

2



x  x2  a2



y

x  x2  a2

 Ahora tenemos una constante en el numerador; pero,
cuando los valores positivos de x son grandes, ambos
términos del denominador son grandes y positivos.
 Mientras mayor es el valor de x, mayor es el valor
del denominador, y ,por consiguiente d es menor. Sí
d tiende a cero cuando aumenta x, lo cual demuestra
que la recta es una asíntota de la hipérbola. En el
caso de los otros tres cuadrantes se pueden emplear
razonamientos semejantes para demostrar que sucede
los mismo en ellos.

 Una forma cómoda de trazar las asíntotas es
graficar (a,0) y (0, b) (aunque el segundo par
de puntos no pertenece a la hipérbola) ytrazar el
rectángulo determinado por los puntos. Las
diagonales de ese rectángulo son las asíntonas.
 En este caso hay dos lados rectos que contienen
los focos y son perpendiculares al eje transversal.

Propiedades de la hipérbola.
1. La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, la
recta focal y la mediatriz del segmento focal son
ejes de simetría.
2. El punto de intersección de las dos rectasantes
mencionadas es el centro de simetría de la curva,
el cual se conoce como centro de la hipérbola.
3. Intersección con los ejes coordenados.

Intersección con los ejes coordenados
a)      Con el eje x
Sea y=0 entonces x2/a2=1 
x= a
A partir de este resultado se
observa que en el eje focal
existen dos puntos, V’(-a,0),
V(a,0) que se denominan
vértices y equidistan una
distancia a del centro.b)     Con el eje y
Sea x=0 entonces –y2/b2=1, por lo tanto, y= bi.
La intersección con el eje y es imaginaria, por tanto, no hay intersección
con el eje real y la hipérbola no corta su otro eje de simetría; y se le
conoce como eje conjugado de la hipérbola.

Interpretación geométrica de a, b y c
 Considere la figura que se
muestra
 De la figura se observa que
c2=a2+b2
 a es la distancia...