La integral

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La integral de superficie
Problemas resueltos
1. Calcule el área de la porción del paraboloide z = x2 + y2 que está
comprendida entre los planos z = 0 y z = 1:
Solución:
La intersección del paraboloide con el plano z = 0 es el punto (0; 0) y con
el plano z = 1 es la circunferencia x2 + y2 = 1: La región limitada por la
proyección de dicha circunferencia sobre el plano XY es
D = ©(x; y) 2R2 : x2 + y2 • 1ª:
Podemos considerar la siguiente parametrización:
r(x; y) = (x; y; x2 + y2); (x; y) 2 D:
De esta manera S = r(D); siendo S la superficie descrita en el enunciado. Su
producto vectorial fundamental es:
N(x; y) = (¡2x;¡2y; 1); y kN(x; y)k = p4x2 + 4y2 + 1:
El área solicitada será:
a(S) = ZZD kN(x; y)kdxdy = ZZD p4x2 + 4y2 + 1 dxdy:
Problemas resueltos
Esta integral laharemos mediante un cambio de variable a coordenadas polares.
x = ½ cos '
y = ½ sen ' ) con
0 < ½ • 1
0 < ' < 2¼
y JT (½; ') = ½ > 0:
a(S) = ZZD p4x2 + 4y2 + 1 dxdy = Z 1
0 •Z 2¼
0 p4½2 + 1 ½ d'¸d½ =
= 2¼ •1
8
2
3
(4½2 + 1)3=2¸1
0
= ¼
6
(5p5 ¡ 1):
2. Parametrize la superficie plana cuyo borde es la curva
C : ( x2 + y2 = z2=2
z = y + 1
Solución:
La curva C es la intersección delcono x2 +y2 = z2=2 con el plano z = y +1 :
x2 + y2 =
1
2
(y + 1)2 =
1
2
(y2 + 2y + 1) ! x2 +
1
2y2 ¡ 2y ¡
1
2
= 0 !
! x2 +
(y ¡ 1)2
2
= 1
La integral de superficie
Es una elipse en el plano z = y + 1: Su proyección sobre el plano XY es
la curva ° de ecuación x2 +
(y ¡ 1)2
2
= 1 (una elipse, también). Sea S la
superficie del plano z = y + 1 limitada por C; se puedeparametrizar como
r(x; y) = (x; y; y + 1); (x; y) 2 D = ½(x; y) 2 R2 : x2 +
(y ¡ 1)2
2 • 1¾:
3. Calcule la integral ZS
x2z dS ;
siendo S la superficie externa de x2 + y2 = a2 comprendida entre z = 2 y
z = ¡2.
Solución:
La superficie es un cilindro circular recto. Puesto que x2 + y2 = a2 y z está
entre ¡2 y 2 consideraremos la siguiente parametrización:
x = a cos u
y = a senu
z = v
9>
=>;
!r(u; v) = (a cos u; a senu; v); (u; v) 2 D = [0; 2¼]£[¡2; 2]
Calculemos el producto vectorial fundamental:
@r
@u
(u; v) = (¡a senu; a cos u; 0);
@r
@v
(u; v) = (0; 0; 1)
Problemas resueltos
N(u; v) = @r
@u
(u; v) £
@r
@v
(u; v) =¯¯¯¯¯¯¯
~{ ~| ~k
¡a senu a cos u 0
0 0 1
¯¯¯¯¯¯¯
= (a cos u; a senu; 0);
kNk = a
ZS
x2zdS = ZZD
a3v cos2 u dudv = a3 Z 2¼
0 •Z 2
¡2
v cos2 u dv¸du=
= a3 Z 2¼
0
cos2 u •v2
2 ¸2
¡2
du = 0:
4. Calcule el área de la porción de superficie cónica x2+y2 = z2 situada
por encima del plano z = 0 y limitada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2ax.
Solución:
Hemos de parametrizar la superficie de la cual hay que hallar el área, esto es,
la hoja superior (pues z ¸ 0) del cono x2 + y2 = z2: Como S es la gráfica de
la función z = px2 + y2 = f(x; y)sobre la región D (que queda definida por
la intersección del cono y la esfera)
x2 + y2 = z2
x2 + y2 + z2 = 2ax ) ! 2(x2 + y2) = 2ax ! (x ¡
a
2
)2 + y2 = a2
4
D = ½(x; y) 2 R2 : (x ¡
a
2
)2 + y2 •
a2
4 ¾
La integral de superficie
entonces S = r(D) siendo r la parametrización:
r(x; y) = (x; y;px2 + y2); 8(x; y) 2 D:
El producto vectorial fundamental es:
N(x; y) = (¡
@f
@x
(x;y);¡
@f
@y
(x; y); 1) = Ã ¡x
px2 + y2
; ¡y
px2 + y2
; 1!;
kN(x; y)k = p2:
y el área pedida vale:
a(S) = ZZD kN(x; y)kdxdy = ZZD
p2 dxdy = p2 ¹(D) = p2 ¼
a2
4 :
5. Dado el recinto limitado por los planos z = y, z = 0 y el cilindro
x2+y2 = a2. Calcule el área de la porción de superficie cilíndrica comprendida
entre los dos planos.
Solución:
En el cilindro x2 + y2 = a2 podemos tomarla parametrización:
x = a cos u
y = a senu
z = v
9>
=>
;
! r(u; v) = (a cos u; a senu; v); (u; v) 2 D
Problemas resueltos
siendo
D = ©(u; v) 2 R2 : 0 • u • ¼; 0 • v • asenuª De esta manera S = r(D) es la mitad de la superficie que se describe en
el enunciado porque sólo consideramos la porción del cilindro con z ¸ 0: El
producto vectorial fundamental es (véase el problema 1)
N(u; v)...
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