LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

INTRODUCCION



Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y condominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de unatransformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1,..., vn} y el espacio W tiene una base {w1,..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.
Si T (vi) = ai1 w1 + ....+ aim wm, entonces lacolumna i de A es (ai1 .... aim )T


LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
 
En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal. Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados. Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios vectoriales de dimensión n. Este resultado serárealmente interesante.
 
En toda esta sección, supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con algunas definiciones básicas.
 
Definición.   Sea  V  un espacio vectorial.  Una base ordenada de  V  es una base  de  V  en la cual se ha establecido un orden.
 
Así,  por ejemplo,  la base ordenada  de   es distinta de la base ordenada  , ya que aunquecomo conjuntos son iguales, tienen ordenados sus elementos de manera diferente.
 
Definición.   Sea  V  un espacio vectorial  y  sea    base ordenada de  V. Si  , definimos elvector de coordenadas de  x, respecto a   como:

Siempre que se cumpla que:

 
En palabras, el vector de coordenadas de  x  es la  n-ada que se forma con los coeficientes de los vectores de la base, al escribir a  x como combinación lineal de ésta.
 
Ejemplo.
Sea   y sea  . Es fácil verificar que    es una  base ordenada de  V.  Dado  , para calcular su vector de coordenadas  respecto a la base dada, debemos escribir  a   como combinación lineal de esta base. Planteamos entonces:

                         
lo que nos lleva a la solución:

 
Por lo tanto, concluimos que el vector de coordenadas de  ,respecto a la base   es:

 
Supongamos ahora que tenemos   y    bases ordenadas de  V  y  W, respectivamente,  y  sea     una transformación lineal. Para cada  , podemos calcular el vector de coordenadas  de   respecto a la base    e ir formando una matriz, con estos vectores coordenadas como columnas, es decir, si
,  
Entonces se forma la matriz:

 
Definición.   La matriz asociada a latransformación lineal  T ,  respecto a las bases ordenadas   y  ,  es la matriz    descrita arriba. Cuando   y   se escribe  simplemente  .
 




Ejemplo.
Sea   dada por   la derivada de f; y sean   y  las bases canónicas  de   y   (ordenadas en la forma estándar) , respectivamente.
Tenemos los siguientes datos:

                                                                                                              
Con todo esto, concluimos que la matriz asociada a  T  respecto a las bases    y  , es:

 
En realidad, cuando calculamos la matriz asociada a una transformación, en realidad, podemos calcular toda la transformación. Este es el significado del siguiente:
 
TEOREMA.   Sea   una transformación lineal y sean    y    bases ordenadas de V y W, respectivamente. Entonces   secumple que:

 
Demostración.   Supongamos que    y   , y sea  , de tal forma que, 

Esto significa entonces que  .
Ahora supongamos que,

Esto significa entonces que ,   . De la antepenúltima igualdad, tenemos que,
                                            
            
De aquí se desprende que,

Por otro lado, haciendo el  producto de matrices, vemos que,

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