La Novela

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
SAN TOME ESTADO ANZOATEGUI
ALGEBRA LINEAL
ING. AGRONÓMICA

Docente: Ing. RONIER SALAZAR.
C I V: 193668

Combinación Lineal de Vectores

Dados dos vectores:  y , y  dos números: a y b, el vector  se dice que es una combinación lineal de  y .Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Ejemplo: Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal 

Ejemplo: El vector ,¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

Vectores Linealmente Dependientes e Independientes

Vectores Linealmente Dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Sivarios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2)son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores Linealmente Independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Ejemplo
Determinar sison linealmente dependientes o independientes los vectores:
 = (3, 1) y  = (2, 3)

Linealmente independientes

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo

Expresión analítica del módulo de un vectorEjemplo

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo

Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo
Hallar la proyección del vector  = (2, 1) sobre el vector  = (−3, 4).

Producto VectorialEl producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos
Calcular el producto vectorial de los vectores  = (1, 2, 3) y  = (−1, 1, 2).

Dados los vectores  y , hallarel producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a  y .

El producto vectorial de  es ortogonal a los vectores  y .

Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo que tiene porlados los vectores  y ·

Área de un triángulo

Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Producto Mixto

El producto mixto de los vectores ,  y  es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.
El producto mixto se representa por [, , ].

El producto mixto de tres...