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I N D I C E
UNIDAD IV
Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistema de ecuaciones Diferenciales y Lineales

Ecuaciones Diferenciales Lineales………………………………………………….1
Ejemplo………………………………………………………………………………………...1
* Caso I………………………………………………………………………………..2
* Caso II……………………………………………………………………………….3
* Caso III………………………………………………………………………………4
* Caso IV………………………………………………………………………………5Sistema De Ecuaciones Diferenciales Y Lineales…………………………....6
Ejercicio…………………………………………………………………………................6

* ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Toda ecuación lineal puede ser transformada a Laplace siempre y cuando cumpla con sus propiedades, también existen sistemas de ecuaciones Lineales donde una alternativa es aplicar Laplace.
Algoritmo para convertir una Ecuación Lineal aldominio de Laplace:
Paso 1: Observe que la ED. Cumpla con las condiciones y propiedades de Laplace.
a) Que sea lineal
b) Que tenga condiciones iniciales
c) Que en la condición inicial la causa valga cero.
Ejemplo.
y’’ – 4y’ + 4y = te2t y(0)= 0 y’(0)= 1
Sustituyendo:
[s2Y(s) – sy(0) – y’(0)] – 4[sY(s) – y(0)] + 4[Y(s)] = 1(s-2)2
Paso 2: Sustituya lascondiciones iniciales y simplifique.
[s2Y(s) – 1 – 4sY(s) + 4Y(s) = 1(s-2)2
Paso 3: Despeje Y(s) sugiriendo que factorises por termino común a Y(s).
Y(s) [s2 – 4s + 4] = 1(s-2)2 + 1
Y(s) = 1(s-2)2 + 1s2 – 4s + 4
Paso 4: Te sugiero simplificar el numerador para que no quede en fracciones.
Y(s) = 1(s-2)2 + 1s2 – 4s + 41 = 1+ (s-2)2(s-2)2 (s2- 4s+4) = 1+ (s-2)2(s-2)2 (s-2)2
= 1+ (s-2)2(s-2)4= 1(s-2)4 + (s-2)2(s-2)4 = t4-1e2t4 - 1! = t3e2t6

CASO I
Reales y Diferentes
y’’ – 9y = 7 y(0)= 0 y’(0)= 0
s2 Y(s) – sy(0) – y’(0) – 9[Y(s)] = 7s
Y(s) [s2 - 9] = 7s
Y(s) = 7s(s2-9)
Y(s)= 7ss-3s+3
7ss-3(s+3)= AS+ BS-3+ CS+3= AS-3S+3+BSS+3+CS(S-3)SS-3(S+3)
7SS-3(S+3)ss-3(s+3)= AS-3S+3+Bss+3+Cs(s-3)
7 = A(S-3)(S+3) + B(S)(S+3) + C(S)(S-3)
S {-3} = 718 = C
S {0} = 7 =A(-3)(3)
7 = -9A = -7/9 = A
S{3} = 7= B(3)(6) = 18B = 7/18 = B

7ss-3(s+3)= AS+ BS-3+ CS+3= 79S+ 718(S-3)+ 718(S+3)
F(t) = -79 1S+ 7181S-3+ 7181S+3
F(t) = -79+ 718e3t+ 718e-3t Solución Particular

CASO II
Reales y Repetidos
y’’ + 2y’ + y = t + 3
s2Y(s) – sy(0) – y’(0) + 2[sY(s) – y(0)] + Y(s) = 1s2+3s
Y(s)[ s2 + 2s + 1] = 1s2+3s+ s+2
S = 0
S = 0S = -1
S = -1
S = 0
S = 0
S = -1
S = -1
Y(s) = 1s2+3s+ s1+21s2 + 2s + 1 = 1+3s+s3+2s2s2s2 + 2s + 11
Y(s) = s3+2s2+3s+1s2(s2+2s+1)

Y(s) = s3+2s2+3s+1s2(s+1)2 = AS+BS2+C(S+1)+D(s+1)2
= AS(s+1)2+B(s+1)2+CS2(S+1)+D(S2)S2(s+1)2
= s3+2s2+3s+1 = AS (s2+2s+1) + B (s2+2s+1) + CS3+CS2+DS2
= s3+2s2+3s+1 = AS3 + 2AS2+AS+BS2+2BS+B+CS3+CS3+DS2
{S3} 1 = A + C{S0} 1 = B 3 = A + 2(1) A = 1
{S2} 2 = 2A + B + C + D 1 = 1 + C C = 0
{S} 3 = A + 2B 2 = 2(1) + 1 + 0 + D -1 = D
F(t) = AS+BS2+C(S+1)+D(S+1) = 1S+1S2+0S+1-0(S-(-1))2
F(t) = 1 + t - te-t Solución particular

CASO III
Imaginarios Diferentes

y’’ – 6y’ + 13y =2 y(0)=1 y’(0)=1
s2Y(s) – sy(0) –y’(0) – 6[sY(s) – Y(0)] + 13Y(s) = 2s
S=0
S=3+2i
S=3-2i
S=0
S=3+2i
S=3-2i
Y(s)[s2 – 6s + 13] = 2s+5-5
Y(s) =2+S2-5sSS2-6S+131 = S2-5s+2S(S2-6S+13)
Y(s) = As+Bs2-6s+13+cs
= S2-5s+2S(S2-6S+13)= As+Bs+C(s2-6s+13)s(s2-6s+13)
= s2-5s+2=As2+Bs+Cs2-6Cs2+13C
{s2} 1 = A + C A = 11/13
{S} -5 = B – 6CB = -53/13
Sustituir : {S0} 2 = 13C = 2/13 = C

Y(s) = As+Bs2-6s+13+cs= 1113s-5313s2-6s+13+213s
F(t) = 1213+ e3t(1113 cos2-1013 sen2t)

CASO IV
Imaginarios Repetidos

yiv+ 2y’’ + y = 0 y(0)= o y’’(0)=2 y’’’(0)=-2
s4Y(s) – s3y(0) – s2y(0) – sy’(0) – y’’’(0) + 2[s2Y(s)] – sY(0) – y’(0) = 0
S = 0+i
S = 0-i
S = 0+i
S = 0-i
S = 0+i
S = 0-i
S = 0+i
S =...