La sociedad

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Ejercicios
Tema 15: Transformada de Laplace. Aplicaciones
1. Hallar, usando la definici´n, la transformada de Laplace de o (a) f (t) = tp , p > −1. (b) f (t) = eat . Sol.: (a) F (s) =
Γ(p+1) ; sp+1

(b) F (s) =

1 s−a ,

s > a.

2. Hallar, mediante desarrollo en serie, la transformada de Laplace de (a) f (t) = e−t . (b) f (t)= sen t. Sol.: (a) F (s) =
1 s+1 , 1 . s2 +1

s > −1; (b) F (s) =

3. Hallar la transformada de Laplace de la funci´n que se obtiene al expandir peri´dio o camente, con periodo 1, la funci´n f (t) = t, 0 ≤ t < 1. o 1−(1+s)e−s Sol.: F (s) = s2 (1−e−s ) . 4. Hallar, usando convoluci´n, la transformada inversa de Laplace de o F (s) = Sol.: f (t) = 5. Hallar: L−1 Sol.: f (t) = 2et − 2 cos t + sent. 6. Hallar, mediante transformadas de Laplace, la siguiente integral
∞ 0 (sen 3t−3t cos 3t)e−2t . 54

1 (s2 + 4s + 13)2

3s + 1 (s − 1)(s2 + 1)

sen t dt t

Sol.: π/2. 7. Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace, calcular: (a) L[s(t)], siendo s(t) = (b) L−1 (c) L−1
s2 (s2 +1)2 t sen u 0 u 1 (s2 +1)2

du. , sabiendo que L−1
s (s2 +1)2

y L−1 .

=

t sen t 2 .2s2 −4 (s+1)(s+2)(s−3)

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a (d) L[fi (t)], siendo fi (t), i = 1, 2, la funci´n cuya gr´fica es: o a
T

2

3 2

T  d   d   d f2 ¡ e ¡ e ¡ e ¡ e

1
 

f1
    d d d E

1
¡ ¡

e e E

1

2

3

1

2

3

4

Sol.: (a) F (s) = 1 arctan 1 ; (b) f (t) = (sen t + t cos t)/2 y g(t) = (sen t − t cos t)/2; s s 1 7 (c) f (t) =2 e−t + 4 e−2t + 10 e3t ; (d) F1 (s) = 1 − e−s − e−2s + e−3s /s2 y F2 (s) = 5 −s − 2e−2s − e−3s + 2e−4s /s2 . 2−e 8. Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: (a) (b) (c)
∞ e−t −e−3t dt. t 0 ∞ −1t 2 + e−2t 0 t 1−e ∞ −t2 0 e

cos t dt. √ π/2.

dt.

Sol.: (a) ln 3; (b) −2/5; (c)

9. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuacionesdiferenciales y sistemas:   x (t) = 2 , si 0 < t ≤ 1    0 , si 1 < t ≤ 2  3t y − 3y + 2y = 2e x(t) + y (t) = 0 ; (a) ; (e) y(0) = 0 , y (0) = 1   x(0) = x (0) = x (0) = x (0) = 0    y(0) = 3   x = −7x − 6y + t y + y = et y = 12x + 10y (b) ; (f) ; y(1) = 1 , y (1) = 0  x(3) = 1 ; y(3) = −8    0 , si 0 < t < 2      x −y = 1 , si 2 < t < 3 1 , si 0 < t < 2   y +y =  0 , si t > 3 0 ,si t ≥ 2 ; (c) ; (g)    y −x=1 y(0) = 0    x(1) = y(1) = 1   x − y = 1 , si 0 < t < 1    0 , si t > 1  ty + 4y + 9ty = cos 3t ; t > 0 0 , si 0 < t < 2 ; (h) . (d) y(0) = 0 ; y (0) = 1/4 y −x=   1 , si t > 2    x(0) = y(0) = 0

Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Sol.: (a) y = e3t − e2t ; (b) y = [et + (2 − e) cos(t − 1) − e sen(t − 1)]/2; 1 − e−t , si 0< t < 2 (c) y = ; 2 − 1)e−t , si t ≥ 2 (e  sh t , si 0 < t < 1  (d) x = sh t − sh(t − 1) , si 1 < t < 2 ;   sh t − sh(t − 1) + ch(t − 2) − 1 , si t > 2  ch t − 1 , si 0 < t < 1  y = ch t − ch(t − 1) , si 1 < t < 2 ;   ch t − ch(t − 1) + sh(t − 2) , si t > 2 (e) x = [t4 − (t − 1)4 h(t − 1)]/12; y = [180 + t5 − (t − 1)5 h(t − 1)]/60; (f) x = −8 − 5t − et−3 + 25e2(t−3) ; y = 9 + 6t + 4et−3− 39e2(t−3) ; (g) x = [et−1 − 1 + ch(t − 1)]h(t − 1) − sh(t − 2)h(t − 2) + sh(t − 3)h(t − 3); y = [ch(t − 1) + 2 sh(t − 1)]h(t − 1) − [ch(t − 2) − 1]h(t − 2) + [ch(t − 3) − 1]h(t − 3); (h) y = sen 3t . 12 10. Resolver, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones diferenciales y sistemas:  t  x + 2x + 6 0 y(u) du = −2 (a) x +y +y =0  x(0) = −5 ; y(0) = 6   9x − 32y − 32y =0 , si 0 < t < 1   1 , si t ≥ 1 (b) t  −2x + 0 x(u) du + 8y + 8y = 0   x(0) = 32 ; y(0) = 9 Sol.: (a) x = 2−3e−4t −4et ; y = 4e−4t +2et ; (b) x = 32 cos 2t+ h(t−1) sen 2(t−1); y = 2 1 9 9 9 e−t + 4 cos 2t − 2 sen 2t + −1 − 40 e1−t + 160 cos 2(t − 1) + 80 sen 2(t − 1) h(t − 5 32 1). 11. Utilizando transformadas de Laplace: (a) Resolver: x − 5x + 4x = 4 , t ≥ 0 x(0) = 0 , x (0) = 2 (b)...