La tierra

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Topología
La Topología es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.[1] Es una disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto,comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.
Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y laintersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico.
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Idea intuitiva
Particularmente se presenta a la Topología como la "Geometría de la página de goma (chicle)". Esto hace referencia a que en la Geometría euclídea dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc),es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumen y otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido,ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla por algún punto.
Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramosestudiando Geometría sobre un papel de goma que pudiera contraerse, estirarse, etc.

Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a pensar que la topología trata sólo deobjetos y conceptos geométricos, siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos es imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas topológicos o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la topología, que les hace avanzar muylentamente cuando no pueden encontrar un ejemplo gráfico, tener una visión parcial de algunos conceptos, e incluso incurrir en errores. Es frecuente entre los estudiantes primerizos escuchar que "no entienden la topología" y que no les gusta esa rama; generalmente se debe a que se mantienen en esta actitud gráfica. Por último, la topología se nutre también en buena medida de conceptos cuyainspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas topológicos.
Un ejemplo clarificador

Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni sulongitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido pues representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.
Historia de la Topología
Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al...
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