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Lugar Geom´ trico de las Ra´ces. e ı
Leidy Hern´ ndez - 206027∗ a Indira Daza - 2070∗ Diana Carolina Huertas - 806021∗ Sandra Viviana goyes - 806521∗ informe No 03. Noviembre 13 de 2009. Universidad Nacional de Colombia - Sede Manizales Departamento de Ingenier´a El´ ctrica, Electr´ nica y Computaci´ n. ı e o o

Abstract— En la teor´a de control se hace importante la ı representaci´ n desistemas mediante el lugar geom´ trico o e de las ra´ces el cual describe la ecuaci´ n caracter´stica ı o ı cuando varia un par´ metro en el mismo permitiendo un a mejor manejo de este.

ya calculado uno de los polos realizamos divisi´ n o sint´ tica para obtener una ecuaci´ n de menor grado e o y se procede a calcular los polos restantes:
S 2 + 2S + 5 = 0 P2 = −1 + J2 P3 = −1 − J2

I.

´INTRODUCCI ON

las propiedades b´ sicas de la construcci´ n sistem´ tica a o a del lugar geom´ trico permiten determinar que los polos e de un sistema determinan las caracter´sticas de la reı spuesta transitoria del mismo la cual nos permite en este momento crear circuitos capaces de ser controlados con toda la informaci´ n adquirida mediante estos m´ todos, o e en el mundo en el que ahoravivimos, en el que la tecnolog´a invade nuestros hogares se hace necesario ı descubrir que con el dise˜ o de controladores y con una n forma b´ sica se a El LGR constituye una potente herramienta, ya que proporciona informaci´ n gr´ fica de un sistema, visualo a izando los efectos que produce la variaci´ n de par´ meto a ros en el sistema al igual que proporciona una medida de la sensibilidad de lasra´ces ala variaci´ n del par´ metro ı o a utilizado. II. CUESTIONARIO

ya calculado los polos, se busca los ceros que son los que acompa˜ an a la ganancia K n
Z = −4

Ahora como P > Z entonces el numero de ramas sera el numero de polos existentes.
P =3

calculando el numero de as´ntotas de la ecuaci´ n ı o
A = |3 − 1| = 2

´ Calculando los angulos de las as´ntotas ı
∠= 180◦ (2m + 1) |P −Z|

1).Para la siguiente funci´ n de transferencia en o lazo abierto
GLA (S) = S3 S+4 + 4S 2 + 9S + 10

∠1 = ∠2 =

180◦ 180◦ (2(0) + 1) = = 90◦ |3 − 1| 2

180◦ 180◦ (2(1) + 1) = ∗ 3 = 270◦ |3 − 1| 2

a.Realizar el procedimiento expuesto en la gu´a ı para construir el LGR y graficarlo. Encontrando los polos de la ecuaci´ n se tiene: o
P1 = −2
———————————————— ∗ Estudiantes de Ingenier´aElectr´ nica ı o

calculando el punto de intersecci´ n de las as´ntoo ı tas:
σ= σ=
P OLOS

#P OLOS

− CEROS − #CEROS

−2 − (−4) − 2 =0 3−1 graficando la ecuaci´ n o

2

Fig. 1. gr´ fica lugar geom´ trico de las ra´ces a e ı

d.¿Que sucede si se a˜ ade un polo real en el origen n al sistema en LA?. Si se a˜ ade un polo al origen,los valores bajos de n K permiten mostrar una respuestaexponencial , pero a medida que esta aumenta se pasa a tener una respuesta subamortiguada , con la diferencia de que el tiempo de establecimiento se hace cada vez mayor hasta que llega a un limite a partir del cual el sistema pasa a ser inestable pues el lugar geom´ trico cruza hacia el semiplano derecho, la e forma de la gr´ fica se vuelve ahora una elipse y a los ceros de esta funci´ n van haciael infinito. o

b.¿Para que valores de K el sistema es estable, inestable y cr´ticamente estable?. ı Se toma la ecuaci´ n caracter´stica de la funci´ n de o ı o transferencia en lazo cerrado y se iguala a cero.
K(S+4) 1+ S 3 +4S 2 +9S+10 = 0 K(S + 4) = −S 3 − 4S 2 − 9S − 10 S 3 + 4S 2 + 9S + 10 + K(S + 4) = 0 S 3 + 4S 2 + S(K + 9) + (10 + 4K) = 0

Implementando el criterio de ruth paraanalizar la estabilidad se tiene:
S3 1 K +9 4 4K + 10 S2 23/ 0 S1 2 0 0 S (4K + 10)

Fig. 2. gr´ fica con un polo en el origen a

luego se extrae de la primera columna las expresiones que se encuentran acompa˜ adas por K y se n igualan a cero
4K + 10 = 0

donde
K = −5/2

e.¿Que efectos tiene sobre la respuesta el aumentar el orden del sistema con dos polos conjugados complejos?. Al aumentar...
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