Laboratorio 1.1 modelo logistico de poblacion con recoleccion blanchard

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INTRODUCCIÓN
En varias aplicaciones que van desde la medicina hasta la ecología y hasta por la economía global, resulta conveniente presidir el crecimiento o descenso de la población de una especie dada. En diferentes situaciones puede haber interés en una población de bacterias, insectos, mamíferos, incluso personas. Ecuaciones semejantes también rigen muchos otros tipos de fenómenos porejemplo, los problemas de cosechas de recursos renovables que se modelara a continuación.

OBJETIVOS
El propósito principal es mostrar cómo es posible aplicar métodos geométricos para obtener información cualitativa importante directamente de la ecuación diferencial sin necesidad de resolverla.

SOLUCIONES
Crecimiento Logístico: la ecuación se conoce como ecuación de Verhulst o ecuación logística,logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:
-la tasa de reproducción es proporcional a la población existente.

-la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

SiP representa el tamaño de lapoblación yt representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

dpdt=kp(1-pN)

Donde la constantek define la tasa de crecimiento yN es la capacidad de persistencia.

La solución general aesta ecuación es una función logística. Con una población inicialP0

Crecimiento Logístico Con Recolección Constante: una vez consideramos los modelos de crecimiento logístico semodifican para incluir términos que toman en cuenta la recolección, así obtenemos que para una población de peces sometida a varios grados y tipos de pesca, el modelo a seguir es el modelo de crecimiento logístico menos el parámetro de recolección, en este caso representado por la constante de recolección a:
dpdt=kp1-pN-a
La solución de la ecuación logística puede encontrarse por el método deseparación de variables, sin embargo, ahora se mostrara que al aplicar un razonamiento geométrico es posible descubrir directamente las características principales de la solución a partir de la propia ecuación diferencial sin resolverla. Esto es importante porque a menudo pueden aplicarse los mismos métodos en ecuaciones más complicadas, cuyas soluciones son más difíciles de obtener.
Si usamos comoparámetros cualesquiera de los siguientes valores:

En este caso usaremos los datos de la opción número 1 y procederemos a graficar dp/dt contra p.
Si:
k=0.25; N=4; a=0.16
dpdt=kp1-pN-a
dpdt=0,25p1-p4-0.16
dpdt=-0.0625p2+0,25p-0.16
Para los puntos de equilibrio decimos que
dpdt=0
Y hallamos las respectivas soluciones y graficamos:

p1=0,8
p2=3.2
Figura1-Grafica dp/dt contra p

Enla figura se muestra la gráfica dp/dt contra p, la gráfica es una parábola que se interseca con el eje p en (0.8,0) y (3.2,0) y con vértice en (2,0.09). para 0,8<p<3.2 se ve que dp/dt>0 y, por lo tanto p es una función creciente de t; de manera semejante si p>3.2, entonces dp/dt<0; de donde p(t) es decreciente, en cambio si p=0,8 y p=3.2,entonces dp/dt =0 y p(t) no cambia, Lassoluciones constantes p = 0,8 y p=3.2 son las soluciones de equilibrio, puntos de equilibrio opuntos críticos.
A continuación se desea trazar las gráficas de la soluciónp(t) contra t para t>0,p>0,8 y para diferentes valores iniciales p(0)
dpdt=kp1-pN-a
dpdt=0,25p1-p4-0.16
dpdt=-0.0625p2+0,25p-0.16
dp=(-0.0625p2+0,25p-0.16)dt
dp-0.0625p2+0,25p-0.16=dt
dp-0.0625p2+0,25p-0.16=dtdlnp-0,8-d(p-3.2)=t+c
Donde d=6.66667
t+cd=ln⁡(p-0.8p-3.2)
et+cd=p-0.8p-3.2
3.2 et+cd+0.81-et+cd=p
3.2 et+c6.66667+0.81-et+c6.66667=p

Figura2-Grafica 3D p(t) contra t

Figura3-Grafica 2D p(t) contra t

Estos resultados significan que las gráficas de las soluciones de la ecuación deben tener la forma que se indica en la figura3.
Figura4-Grafica p(t) contra t, para diferentes p(0)

En la...
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