Lagebra Lineal
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Barinas
“José Félix Ribas”
Barinitas Estado Barinas
PROF.: AUTORES
Ing. Walther Torres Navas Milagro
Zerpa Rómulo
Const. Civil
III año “B”
Barinitas, octubre de 2011
Índice
Introducción 3
Espaciosvectoriales 3
Combinación Lineal 4
Generación de espacios 4
Dependencia e Independencia Lineal 5
Bases 8
Transformaciones Lineales 9
Propiedades de las transformaciones lineales 9
Representación matricial de una transformación lineal. 10
Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales 13
Cambio de base 15
Autovectores y autovalores 16
Diagonalización 17
Conclusión 18Introducción
Los espacios vectoriales son todos aquellos conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) tienen propiedades interesantes. Así, si sumamos dos vectores en R2 obtenemos otro vector en R2. Sometidos a la suma, los vectores en R2 son conmutativos y satisfacen la ley asociativa. Si X " R2, entonces x + 0 = x y x + (- x) = 0. Además, podemos multiplicar los vectores enR2 por escalares y establecer varias leyes distributivas. Las mismas propiedades también valen en R3. También conoceremos las combinaciones lineales, generación de espacios, dependencia e independencias y las bases.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones quepreserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
También hablaremos un poco de la transformación lineal, es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y endiversas ramas de la matemática. Así mismo las representaciones matriciales, el cambio de base, los autovalores y autovectores, las características y diagonalizaciones.
Espacios vectoriales
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2.Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siemprecumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial espreciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
* Cuerpo: Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
* Sub cuerpo: Si se...
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