LAGRANGE
Páginas: 4 (962 palabras)
Publicado: 17 de diciembre de 2013
MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
La principal desventaja de la técnica utilizada en el ejemplo 1 es que se basa en nuestra habilidad para resolver la ecuación de restricción para yexplícitamente en términos de x. Esto no siempre es una tarea fácil. Además aunque podamos despejar y en forma explícita en términos de x en la ecuación de restricción , la función resultante de una variable yque debe optimizarse podría ser innecesariamente complicada. Por fortuna, existe un modo más sencillo, llamado método de multiplicadores de Lagrange (José Lagrange, 1736-1813), que se expone acontinuación:
Para determinar el extremo relativo de la función sujeta a la restricción (suponiendo que estos valores extremo existen)
1.- Se forma una función auxiliar
llamada función de Lagrange(la variable se llama multiplicador de Lagrange).
2.- Se resuelve el sistema que consta de las ecuaciones
, ,
En términos de todos losvalores de x,y y .
3.- Se evalúa f en cada uno de los puntos determinados en el paso 2. El mayor (menor) de estos valores es el valor máximo (mínimo) de f.
Resolvemos de nuevo el ejemplo, usando elmétodo de los multiplicadores de Lagrange.
EJEMPLO 2
Use el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el mínimo relativo de la función
sujeta a la restricción x + y = 1.SOLUCIÓN
Escribamos la ecuación de restricción x + y = 1 en la forma g(x, y) = x – 1 = 0. Luego, formamos la función de LagrangePara determinar los puntos críticos de la función F, resolvemos el sistema compuesto por las ecuaciones
Al despejar x y y en lasdos primeras ecuaciones en términos de
y, al sustituir en la tercera ecuación, obtenemos
Por tanto, , de modo que proporciona un mínimo fricción de la función f, de acuerdo con el resultado...
La principal desventaja de la técnica utilizada en el ejemplo 1 es que se basa en nuestra habilidad para resolver la ecuación de restricción para yexplícitamente en términos de x. Esto no siempre es una tarea fácil. Además aunque podamos despejar y en forma explícita en términos de x en la ecuación de restricción , la función resultante de una variable yque debe optimizarse podría ser innecesariamente complicada. Por fortuna, existe un modo más sencillo, llamado método de multiplicadores de Lagrange (José Lagrange, 1736-1813), que se expone acontinuación:
Para determinar el extremo relativo de la función sujeta a la restricción (suponiendo que estos valores extremo existen)
1.- Se forma una función auxiliar
llamada función de Lagrange(la variable se llama multiplicador de Lagrange).
2.- Se resuelve el sistema que consta de las ecuaciones
, ,
En términos de todos losvalores de x,y y .
3.- Se evalúa f en cada uno de los puntos determinados en el paso 2. El mayor (menor) de estos valores es el valor máximo (mínimo) de f.
Resolvemos de nuevo el ejemplo, usando elmétodo de los multiplicadores de Lagrange.
EJEMPLO 2
Use el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar el mínimo relativo de la función
sujeta a la restricción x + y = 1.SOLUCIÓN
Escribamos la ecuación de restricción x + y = 1 en la forma g(x, y) = x – 1 = 0. Luego, formamos la función de LagrangePara determinar los puntos críticos de la función F, resolvemos el sistema compuesto por las ecuaciones
Al despejar x y y en lasdos primeras ecuaciones en términos de
y, al sustituir en la tercera ecuación, obtenemos
Por tanto, , de modo que proporciona un mínimo fricción de la función f, de acuerdo con el resultado...
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