Lagrange

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  • Publicado : 30 de agosto de 2010
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Utilice el método de multiplicadores de Lagrange, a fin de determinar los extremos de la funcion f, para la cual

f(x,y)= 3x + 4y -3

Si el punto (x,y) esta sobre la circunferenciaSolucion:

Se escribe la ecuación de la forma

Con el proposito de obtener los extremos relativos de f sujeta a esta restricción, se define la funcion F como sigue:

Se calculanlas derivadas parciales

Resolviendo las ecuaciones se tiene:

Se igualan estos dos valores

y= 4/3 (x-1)

Se sustituye este valor de Y y se resuelve para x

F(-2,-4) = -25,F(4,4) = 25
El valor mínimo de f es -25 y el valor máximo de f es 25.

Suponga que U es una función utilidad para la cual U(x,y,z) =xyz, donde x,y,z representan el numero de unidades delos articulos A,B y C, los cuales son consumidos a la semana por una persona en particular, además suponga que los precios unitarios de A,B y C son $2, $3 y $4 respectivamente y que elgasto total semanal para estos articulos se presupuestado en $90 ¿ cuantas unidades de articulos deben comprarse semanalmente para maximizar el indice de utilidad de la persona?Solucion:

2x +3y + 4z=90

F(x,y,z)= xyz + (2x +3y + 4z - 90)

Fx: yz + 2 = 0

Fy: xz +3 = 0

Fz: xy + 4 = 0

F: 2x +3y + 4z - 90 = 0

y= (2/3) x

z = (½) x

Sustituyendo:2x +3(2/3)x + 4(½) x - 90 =0

X = 15

Calculando:

Y =10
Z = 7.5

U(15,10,7.5) = (15* 10*7.5) = 1125

Como x,y,z están en el intervalo de (0, +(

Por lo tanto este valor nopuede ser un minimo porque existen muchos valores de U sujeta a la restricción dada que son menores de 1125.

Obtenga los extremos relativos de la funcion f si:

f(x,y,z) = xz +yz

Ysi el punto (x,y,z) esta en la intercepcion de las superficies :

Y

Solucion:

Derivando:

Si tenemos que:

entonces

Por ultimo tenemos cuatro conjuntos soluciones:
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