Laplace

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APLICACIONES DE LAPLACE

a) UNA PRIMERA APROXIMACIÓN AL PROBLEMA

La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Como comentamos en la introducción del tema, estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos Eléctricos. Para ilustrar el método, consideremos elsiguiente ejemplo: la ecuación
y''+y=cost
junto con las condiciones iníciales
y0=0;y'0=1
Básicamente se trata de aplicar la Transformada de Laplace y sus propiedades a y''+y=cost de manera que teniendo en cuenta y0=0;y'0=1 nuestro problema se convierte en el problema algebraico

z2Lyz-yz0-y'0+Lyz=zz2+1
De donde
Lyz=z2+z+1z2+12
Una vez obtenida Ly, hemos de usar la transformada inversa paravolver atrás y recuperar la solución del problema y. En este caso Ly satisface las condiciones del Teorema 14 por lo que
yt=Resetzz2+z+1z2+12,i+Resetzz2+z+1z2+12,-i=(1+t2)sent
una vez realizados los cálculos.
b) USO DE LA CONVOLUCION:
Otra forma de abordar el problema anterior, sin necesidad de tener que calcularla Transformada de Laplace de la función coseno es la siguiente. Consideremoslos cálculos realizados anteriormente, pero sin obtener Lfz donde ft=cost. Nos queda entonces la ecuación algebraica

z2Lyz-1+Lyz=Lfz
De donde

Lyz=1z2+1+1z2+1Lfz
Entonces

yt=L-11z2+1t+L-1Lfzz2+1t
=sent+L-1Lfz*L-11z2+1t
=sent+0tsen(t-s)cos⁡(s)ds
=sent+14cos2s-t+2s sent0t
=sent+t2sent=(1+t2)sent

Que era la solución obtenida anteriormente

Así, el uso del producto de convoluciónpresenta una vía alternativa para la resolución de estos problemas, aunque a veces el cálculo de las integrales que aparecen en el producto de convolución puede ser bastante complicado.

c) SISTEMAS DE ECUACIONES

Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma

y't=A.yt+f(t)
Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes reales,f=(f1,f2,f3….,fn)tson funciones dadas e y=(y1,y2,y3….,yn)t es la función vectorial incógnita. Supongamos además las condiciones iníciales.

y0=y0
Donde y0=(y10,y20,y30….,yn0)t con yi0 números reales para 1≤i≤n. Sea

Lyz=(Ly1z,Ly2z,Ly3z….,Lynz)t
Entonces tomando la transformada de Laplace en y't=A.yt+f(t) y teniendo en cuenta y0=y0 obtenemos que

zLyz-y0=A.Lyz+Lfz
De donde, si Indenota la matrizidentidad,
zIn-A.Lyz=y0+Lfz
Y de aquí
Lyz=zIn-A-1.(y0+Lfz)

Por ejemplo consideremos el sistema
y1'y2'=2-332y1y2+10
Junto con las condiciones iníciales
y1(0)y2(0)=2-1
De
Lyz=zIn-A-1.(y0+Lfz)

Ly1zLy2z=z-23-3z-2-12+1z-1

1z2-4z+13z-2-33z-22+1z-1

2z2-2z(z2-4z+13)-z2-8z+3z(z2-4z+13)
Entonces la solución del problema viene dada pory1(t)y2(t)=2L-12z2-2z(z2-4z+13)tL-1-z2-8z+3z(z2-4z+13)t

1328e2tcos3t+16e2tsen3t-228e2tsen3t-16e2tcos3t+3

d) PROBLEMAS CON FUNCIONES DISCONTINUAS

Supongamos que el problema
y''+y=ft;y0=0;y'0=1;
Viene dada ahora con la función discontinua

ft=t si 0≤t<π;cos2t si t≥π;

Por otra parte
ft=th0t-hπt+hπtcos⁡(2t)

Con lo que
Lfz=Lth0(t)z+Lthπ(t)z+Lhπ(t)cos(2t)z

Desarrollando cada sumando por separado, obtenemosLth0(t)z=1z2

Lhπ(t)cos(2t)z=Lhπ(t)cos(2(t-π))z

e-πzz2+πe-πzz

Lhπ(t)cos(2t)z=Lhπ(t)cos(2(t-π))z

e-πzzz2+4

Combinando estas expresiones tenemos

z2+1Lfz+1=z2+1z2+e-πz1z2+πz+z(z2+4)

Lfz=z2+1z2(z2+1)+e-πz1z2(z2+1)+πz(z2+1)+zz(z2+4)(z2+1)

Y asi:

yt=L-11z2t+L-1e-πz1z2(z2+1)t+πL-1e-πz1z2(z2+1)t
+L-1e-πzzz(z2+4)(z2+1)t

=t+f1t-πhπt+f2t-πhπt+f3t-πhπ(t)

Donde las funcionesf1,f2,f3se determinan de la siguiente manera.

f1t=L-11z2(z2+1)t=L-11z2t-L-11(z2+1)t=t-sent
f2t=L-11z(z2+1)t=L-11zt-L-11(z2+1)t=1-cost

f1t=L-1z(z2+4)(z2+1)t
=13L-1zz2+1t-13L-1zz2+4t=13cost-13cos(2t)

Entonces

yt=t+hπt[t-π-sent-π+π-πcost-π+13cost-π-13cos2t-2π]
1-hπtt+hπt[2t+sent+(3π-1)/cost-cos⁡(2t)/3]

O equivalente

y(t)=t si...
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