laplace

Control Automático – Ing. Eléctrica
F.R. Tucumán – Universidad Tecnológica Nacional

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Ing. Juan Jesús Luna

Unidad Temática 3: La Transformada de Laplace
Repaso de los principales conceptos de la Transformada de Laplace
El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas
ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales.Mediante el uso
de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales
como las funciones senoidales, las senoidales amortiguadas y las exponenciales, en
funciones algebraicas de una variable s compleja (tienen una parte Real y una parte
Imaginaria). Las operaciones tales como la diferenciación y la integración en el dominio
del tiempo se sustituyen medianteoperaciones algebraicas en el plano complejo
(dominio de la frecuencia). Por tanto, una ecuación diferencial lineal se transforma en
una ecuación algebraica en la variable compleja s. Si se resuelve la ecuación algebraica
en s para la variable dependiente, la solución de la ecuación diferencial (la transformada
inversa de Laplace de la variable dependiente) se encuentra mediante una tabla detransformadas de Laplace o una técnica de expansión en fracciones parciales, que se
presenta posteriormente. Una ventaja del método de la transformada de Laplace es que
permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema, sin tener que
resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventaja del método de la
transformada de Laplace es que, cuando se resuelve la ecuacióndiferencial, es posible
obtener simultáneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado
estable de la solución.
Definición y propiedades
Se define la transformada de Laplace F(s) de una determinada función temporal f(t)
como:

Donde f(t) es una función real de variable real, generalmente el tiempo, y su
transformada de Laplace F(s) es una función compleja de variablecompleja. Para que
exista la transformada de Laplace es suficiente que la integral exista para algún valor s
complejo. Se reservaran las letras minúsculas para las funciones temporales y las
mayúsculas para sus transformadas de Laplace.

La transformada de Laplace no existe para cualquier funcion temporal f(t). Una
condición suficiente (pero no necesaria) de existencia, es que f(t) seaseccionalmente
continua en
, y que sea de orden exponencial cuando
.
En la siguiente Tabla se resumen las principales propiedades de la transformada de
Laplace. La propiedad de la linealidad existe si f(f) y g(t) poseen transformada de
Laplace. La propiedad de la derivación real se da si f(t) es continua en el intervalo
, f(t) es de orden exponencial cuando
y la
es seccionalmente
continua en
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Tabla: Propiedades de la transformada de Laplace
Transformada de Laplace de funciones elementales
La función escalon unidad u(t) se define como:

Su transformada de Laplace se obtiene por definición:

Para el caso de la función pulso de área unidad p(t), tambiénpor definición:

La función impulso unidad

se define como:

En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como limite de la función
pulso de área unidad, cuando el parámetro tiende a cero, es decir,

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Tabla: Transformadas de las entradas habituales enlos sistemas
Las funciones que mas se emplean como entradas en los sistemas controlados son
precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la función
impulso unidad, como se observa en la Tabla anterior. En la siguiente Tabla se muestran
las transformadas de otras funciones, definidas para tiempos positivos.

Tabla: Transformadas de Laplace de diversas funciones...