Las 48 leyes del poder

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ESTUDIO SOBRE EL EXCESO DE
AMPLITUD EN LA CONSTRUCCIÓN DE
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA
MEDIA POBLACIONAL CON VARIANZA
DESCONOCIDA EN UNA POBLACIÓN
NORMAL

Luis González Abril y Luis M. Sánchez-Reyes
{luisgon, luiss-rf}@us.es - Dpto. Economía Aplicada I
Universidad de Sevilla

Palabras clave: Intervalos de Confianza, Distribución t, Distribución Normal

Resumen
En este trabajo secomparan los intervalos de confianza que pueden
obtenerse aplicando los métodos estándar para estimar la media poblacional
en un modelo generador de datos normal en las dos situaciones posibles,
(con varianza poblacional conocida y desconocida), cuantificando la
probabilidad de que el intervalo que se obtiene en el segundo caso sea más
estrecho que en el primero, y analizando el significadoque tiene que esto
pueda llegar a ocurrir.

1. Introducción al problema. Intervalos de confianza que
proporcionan los métodos estándar
Consideremos la siguiente situación: la característica de interés de
una población se distribuye según una variable aleatoria X ∈ N ( µ,1) , y dos
investigadores que trabajan por separado desean construir un intervalo de
confianza al 90% para la mediapoblacional µ a partir de una muestra
aleatoria simple de tamaño n = 2 a la que ambos van a tener acceso.
Obtenida la muestra ésta resulta ser x1 = 0.95 y x2 = 1.05 , de forma que la
media y varianza muestrales son X = 1 y S 2 = 0.0025 respectivamente.

El primer investigador ha tenido acceso a la mencionada información
sobre la distribución de la característica de interés, por lo que plantea elcorrespondiente intervalo de confianza de la muestra, que como es sabido
para un grado de confianza 1 -α supuesto conocida la varianza es:
X − z1 −α 2

σ
σ
< µ < X + z1 −α 2
n
n

donde z1−α 2 es el correspondiente percentil del modelo normal tipificado.
Este intervalo con los datos obtenidos se convierte en:
−0.163 < µ < 2.163

El segundo investigador posee menos información que elprimero y
sólo conoce que X ∈ N ( µ,σ) , por lo que construye el intervalo de
confianza según la expresión
X − tn −1,1 −α 2

S
< µ < X + tn −1,1 −α
n −1

2

S
n −1

donde t n −1,1−α 2 es el correspondiente percentil del modelo t –Student con n-1
grados de libertad y S es la raíz cuadrada de la varianza muestral. Este
intervalo al sustituir los valores correspondientes queda:
0.684< µ < 1.316

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de forma que el segundo intervalo es mucho más preciso debido a su menor
amplitud.

La pregunta que surge es: ¿cómo es posible que el segundo
investigador utilizando menos información haya obtenido un intervalo más
preciso que el primero con el mismo nivel de confianza? (de hecho puede
comprobarse que el intervalo −0.163 < µ < 2.163 a nuestro segundoinvestigador llegaría a proporcionarle una confianza bastante superior al
95%). Así pues si el primer investigador tuviese conocimiento del intervalo
obtenido por el segundo, ¿debería desechar su resultado y adoptar el del
compañero?

La respuesta es negativa, y con este trabajo vamos a justificar que si
nuestro investigador actuase de esta manera estaría interpretando
equivocadamente la confianza.Recuérdese que la confianza se entiende
como la probabilidad, previa a la obtención de la muestra, de que el
intervalo que se va a construir contenga al verdadero valor del parámetro,
pero téngase también presente que el intervalo es aleatorio y depende de la
muestra obtenida. En este caso la muestra es tal que ha ocurrido el “suceso
raro” de que la amplitud del primer intervalo es mayor que ladel segundo.

2. Análisis de los intervalos de confianza
En esta sección se comparan las amplitudes de los intervalos que
proporcionan los dos métodos de construcción de intervalos de confianza
antes descritos.

PLANTEAMIENTO GENERAL: Sea X un modelo generador de
datos que sigue un modelo normal de media µ y varianza σ2 , es decir,
X ∈ N ( µ , σ) . A partir de este modelo obtenemos una...
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