Las olas

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4.- Métodos de razonamiento En el módulo anterior, vimos que el razonamiento requiere de todas las habilidades y conocimientos que hemos estudiado hasta el momento: formalización, identificación de hipótesis y conclusión, aplicación de las reglas de equivalencia, de implicación lógica y de inferencia lógica. Vimos también que una demostración formal conlleva la aplicación de reglas detransformación con la finalidad de que, partiendo de las hipótesis, lleguemos a la conclusión, o a demostrar que se trata de una falacia. Todo razonamiento debe ser justificado en el sentido de que las transformaciones de las hipótesis no violaron el conjunto de reglas de transformación de la lógica. En esta sección nos corresponde estudiar el método de la prueba formal de la validez. 4.3 La prueba formal dela validez La prueba formal de invalidez trata de encontrar, al menos, una fila de la tabla de verdad en la que todas las hipótesis sean verdaderas y la conclusión sea falsa, con el fin de demostrar que el teorema es una falacia. Por el contrario, la prueba formal de validez, como lo sugiere su nombre, consiste en demostrar que en todas las combinaciones donde todas las hipótesis son verdaderas,la conclusión también lo es. Esta prueba se basa en la premisa que establece que un razonamiento es válido, si y sólo si, siendo sus hipótesis verdaderas, la conclusión es, en todos los casos, necesariamente verdadera. En esta prueba se debe demostrar que en todas las combinaciones donde todos lo elementos del conjunto de hipótesis son verdaderos, la conclusión también lo es. Tiene la complicaciónde construir tablas de verdad. Por tanto, es conveniente utilizar las reglas de transformación para simplificar, en lo posible, el trabajo. Veamos algunos ejemplos de este método de demostración. Ejemplo 1 Sea el siguiente teorema: H = [p → q, q → r], C = p → r Demuestra que este teorema es válido por la prueba de validez. Dado que se trata de 3 variables, tenemos una tabla de 8 renglones: p q rF V F F p→q V V F F V V q→r V F V V V F p→r V F V F V V

V V V V V V V F F F F V

V V

F F

F F

V F

V V

V V

V V

En la tabla podemos ver que en todas las combinaciones donde todas las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Por tanto, el teorema es válido. Ejemplo 2 Sea el siguiente teorema: H = [p → q, ~q ∨ r, ~s → ~r, ~s], C = ~p Determina si este teorema esválido utilizando la prueba de validez. De la conclusión vemos que ésta es verdadera cuando p = F. La hipótesis ~s es verdadera cuando s = F, por tanto, basándonos en estas dos condiciones construiremos sólo una parte de la tabla de verdad de este teorema: p F F F F s F F F F q V V F F r V F V F p→q V V V V ~q ∨ r V F V V ~s → ~r F V F V ~s V V V V ~p V V V V

En la tabla podemos ver que en elúnico renglón donde todas las hipótesis son verdaderas, la conclusión también lo es, por tanto, queda demostrado que el teorema es válido. Ejemplo 3 Sea el teorema: H =[ ~f → b ∧ t, b ∧ f], C = ~t Se desea saber si se trata de un teorema válido o de una falacia. Utiliza la prueba de validez para determinarlo. Podemos ver que la consecuencia es verdadera cuando t = F. De las hipótesis, podemos verque la hipótesis b ∧ f es verdadera cuando b = V y f = V. Construyamos pues la parte de la tabla de verdad en la que se cumplen estas condiciones: f V b V t V ~f → b ∧ t V b∧ f V ~t F

Del único renglón donde se cumple que las dos hipótesis son verdaderas, vemos que la conclusión es falsa, por tanto, queda demostrado que se trata de una falacia. Ejemplo 4 Utilizando la prueba formal de validez,determina si el siguiente teorema es válido o una falacia: H = [p → q, r ∨ ~q, ~s →~r, p ∧ s], C = s Antes de empezar a construir la tabla de verdad, analicemos las hipótesis y la conclusión.

Para que la hipótesis p ∧ s sea verdadera, se debe cumplir que p =V y s = V. Dado que p y s deben ser Verdaderas para que la hipótesis p ∧ s sea verdadera, para H1 tenemos que: H1 = p → q ⇔ V → q, por...
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