Las reglas

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Reglas de derivación

A partir de ahora no hablaremos mas de d f(x) derivada de f de x (función en x) y la representaremos o la
d x
reemplazaremos por f ’(x), es decir que la expresión para denotar la derivada de una función será como sigue:

f(x) = 3x5  , entonces d (3x5) = ; se reemplazará por f ’(3x5 ) =; yenseguida se desarrollará el
d x
correspondiente proceso.
A continuación mostraremos algunos ejemplos para que noten cómo se van desarrollando las reglas de derivación.

La derivada de una constante

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0

La derivada de unapotencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5x4
     Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cuál es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es laconstante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:
 
|f(x)= 3x5 |
|f '(x)= 3(5x4) = 15x4  |

La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
 |f(x)= 2x3 + x  |
|f '(x)= 6x2 + 1 |

La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
 
|f(x)= (4x +1)(10x2 - 5)  |
|f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5) |

La derivada de un cociente

Ahora veamos la regla para la derivada de un cociente.
 
| | f  | |  |g f ' – f g' |
|[|[pic] |]| =|[pic] |
| | |'|  | |
| | | | | |
| | g  | |  |g2|

 
  Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
 
|  |  |4x + 1 |
|f(x) | =  |[pic] |
|  |  |10x2 - 5|
|  |  |  |
|  |  |4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1) |
|f '(x) | =  |[pic] |
|  |  |(10x2 - 5)2 |

Las derivadas de las funciones trigonométricas

Las fórmulas para las derivadas de lasfunciones trigonométricas.
 
|f(x) = sen(x) |
| |
| |
| f | |f '(x) = Lim f(x+h) - f(x) | |
|’(x) | | | |
| |  =  | h[pic]0 h...
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