Las tics

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Función afín
La función afín es aquélla que asocia a cada número x el número ax + b, donde a y b son dos valores fijos.
a se llama pendiente y b ordenada en el origen.
Se escribe x --> ax + b, también f(x) = ax + b o y = ax + b
Las funciones afines se representan mediante rectas. En consecuencia sólo se precisan un par de valores para obtener su gráfica.
Propiedades de la función afín
Elvalor de m, que determina la orientación de la recta en la función lineal y afín, recibe el nombre de pendiente de la recta. Algebraicamente se puede escribir 
, en donde (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos pertenecientes a la recta.
Con esto, si se conocen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que pertenecen a la recta que representa la situación a modelar se puede obtener la ecuación de la funciónafín que representa dicha situación. Algebraicamente se escribe como 
Dominio y Rango
Consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables “x” y ” y” es una en la que para cada valor de y hay exactamente unvalor de x, se dice que y es una función de x. 

Ejemplo:

y = 7x + 1
y = 7(2) + 1 = 15 
y = 7(4) + 1 = 29 
y = 7(6) + 1 = 43 
El dominio D es {2, 4, 6}
Rango R es {15, 29, 43}. 
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
GraficaRepresenta las funciones:
1 y = 2x - 1
x | y = 2x-1 |
0 | -1 |
1 | 1 |

Función inversa
Denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
 y
.
     Sea f una función uno a uno, con dominio X y recorrido Y. La inversa de f es una función g con dominio Y y recorrido X; para lo cual:
 
f(g(x)) para cada x en Y
g(f(x))   para cada y en X

Es decir:
f(f -1(x))= x
f -1(f(x)) = x

f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. Eneste caso muy particular g = f.
* Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación.
* f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

* Además, en tal caso, para cualquier x de I, sinotamos y = f(x), entonces g’(y)· f’(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f.

Dominio y Rango

La función f, de la fig. 14. (b) que está definida por la ecuación:
y = f(x) = x3 – 1 (1)
Cuyo dominio y rango es el conjunto  de los números reales. Al despejar x en la ecuación (1) se obtiene:
(2)
Por la forma que presenta estaecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de  ), existe uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f.
Ejemplos.
 Encontremos la función inversa de la siguiente función 
y dibujemos la grafica de ambas funciones en el mismo plano.
Solución:Despejamos 
de la siguiente manera:

Se intercambian ambas variables:
Intercambiamos
* Y tenemos que la función inversa es: 
* Tabulamos ambas funciones para dibujar la grafica.
| |
-6 | -4 |
-5 | -3 |
-4 | -2 |
-3 | -1 |
-2 | 0 |
-1 | 1 |
0 | 2 |
| |
1 | -1 |
2 | 0 |
3 | 1 |
4 | 2 |
5 | 3 |
6 | 4 |
7 | 5 |

* Graficamos:

Función...
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