Leccion 5 economia

Apuntes de Matem´tica Discreta a 5. Combinaciones. Teorema del Binomio

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e
C´diz, Octubre de 2004 a

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

ii

Lecci´n 5 o

Combinaciones. Teorema del Binomio
Contenido
5.1 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.1.2 Formaci´ny n´mero de combinaciones . . . . o u 5.2 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2.2 F´rmula de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2.3 Tri´ngulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . a 5.3 Combinaciones con Repetici´n . . . . . . . . o 5.3.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.2 N´mero de combinacionescon repetici´n . . . u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 106 106 112 119 119 121 121 122 123

Los elementos a combinar en estas cuestiones no tienen m´s a propiedades que su diversidad. No tienen valor o capacidad aritm´ticos, salvo que se pueden contar. No se puede operar con e ellos, sumarlos o restarlos, multiplicarlos o dividirlos. Simplemente, se pueden combinar.
Thomas Kirkman (1857)

5.1

Combinaciones

Supongamos que disponemos deuna baraja de 52 cartas. ¿Cu´ntas manos de cinco cartas diferentes a pueden obtenerse de dicha baraja? Supongamos calculadas todas las ordenaciones posibles de las 52 cartas de la baraja. Tendr´ ıamos P52 ordenaciones distintas. Parece que si elegimos cinco cartas cualesquiera en cada una de las ordenaciones (las mismas en cada ordenaci´n), el problema estar´ resuelto. Sin embargo, no es as´ ya quepor ejemplo o ıa ı, dos de los grupos elegidos podr´ ser ıan a1 a2 a3 a4 a5 y a1 a3 a4 a2 a5 pero estas dos manos son iguales desde el punto de vista que se plantea la pregunta, es decir, el orden en que nos den las cinco cartas es irrelevante. Entre las P52 ordenaciones habr´ P5 que ser´n iguales. a a 105

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Adem´s cada una de ellasestar´ repetida P52−5 veces, luego por la regla del producto, dentro de las P52 a a ordenaciones habr´ un total de P5 · P(52−5) ordenaciones iguales. As´ pues, el n´mero de manos distintas, a ı u M , por el n´mero de veces que se repite cada una ser´ igual al total de ordenaciones posibles de las 52 u a cartas, es decir, M · P5 · P52−5 = P52 de aqu´ que ı M= 52! P52 = P5 · P(52−5) 5! · (52 − 5)!sea el n´mero de manos diferentes de cinco cartas que pueden obtenerse. La nueva situaci´n nos sit´a u o u ante la definici´n de combinaci´n que ahora veremos. o o

5.1.1

Definici´n o

Dada una colecci´n de m objetos a1 , a2 , . . . , am−1 , am distintos y un n´mero entero positivo n m, o u llamaremos combinaci´n de orden n a cualquier subcolecci´n, a1 , a2 , . . . , an de n objetos de lacolecci´n o o o dada. Dos combinaciones ser´n distintas si alg´n o algunos elementos de uno de los grupos no se encuentra en a u el otro, es decir, si difieren en alg´n o algunos elementos. u

5.1.2

Formaci´n y n´ mero de combinaciones o u

Al n´mero de combinaciones de orden n de una colecci´n de m objetos, lo designaremos por Cm,n y u o diremos que es el n´mero de combinaciones de m elementostomados n a n. Su n´mero es u u Cm,n = Demostraci´n o Procederemos por inducci´n para formar las combinaciones de m elementos tomados n a n y calcular su o n´mero. u Paso b´sico. Para n = 1, las combinaciones de orden 1, ser´n: a a a1 a2 a3 . . . . . . an m! n!(m − n)!

para n = 2, obtendremos las combinaciones de orden dos de m elementos. Estas podr´n obtenerse a a˜adiendo a cada combinaci´n...