Lectura Integral Solidos De Revolucion

Cálculo Integral
Carlos Alberto Trujillo Pulgarín
catrujillop@unal.edu.co
Área y Volúmenes de Solidos de Revolución 20 de diciembre de 2011
1. Volúmenes de solidos de revolución: Capas, discos, arandelas

Partimos de la pregunta ¾Que es volumen?, para empezar iniciamos con solidos sencillos denominados cilindros rectos cuatro de los cuales se muestran en la gura 1. En cada caso el solidose genera moviendo una región plana (La base) a lo largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y en cada caso el volumen del solido se dene como el área A de la base por la altura h; esto es:
V =A·h

Figura 1

Ahora consideremos un solido con la propiedad de que su sección transversal perpendicular a una recta dada tiene área conocida. En particular, supongamos que larecta es el eje x y que el área de la sección transversal en x es A(x), a x b, (ver Figura 2).

1

Figura 2

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de manera que los extremos de cada intervalo son a = x0 , x1 , x2 , · · · xn = b y son tales que: a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Después, a través de estos puntos, pasamos planos perpendiculares al eje x, con lo que dividimos elsolido en capas delgadas o rebanadas (ver Figura 3)

Figura 3

El volumen ∆Vi de una rebanada debe ser aproximadamente el volumen de un cilindro; esto es:
∆Vi ≈ A(xi ∆xi ) ˆ

Recordemos que el punto xi , denominado punto de muestra, es cualquier punto en el subinˆ tevarlo [xi−1 , xi ] El "Volumen" V del solido debe estar dado, de manera aproximada, por la suma de Riemman n
V ≈
i=1

A(xi)∆xi

Si dividimos el intervalo [a, b] en n-subintervalos y n tiende a innito, obtenemos que e Volumen del solido se dene como:
b

V =
a

A(x)dx

2

1.1.

Solidos de revolución: Método de discos y arandelas

Cuando una región plana (Curva en R2 ) esta por completo en un lado de una recta ja en su plano y se hace girar alrededor de una recta, genera un solido de revolución. La rectaja se denomina eje del solido de revolución. A manera de ilustración, si la región acotada por un semicírculo y su diámetro se hace girar alrededor de su diámetro, barre un solido esférico (ver Figura 4).

Figura 4

Si la región dentro dentro de un triangulo rectángulo se hace girar alrededor de uno de sus catetos, genera un solido cónico (ver Figura 5).

Figura 5

Cuando una regióncircular se hace girar alrededor de una recta en su plano y que no intersecte el circulo (ver Figura 6), barre un toro (dona).

Figura 6

En cada caso es posible representar el volumen como una integral denida. algunas veces, al rebanar un solido de revolución se obtienen discos con agujeros en medio. Los llamamos Arandelas, al igual que el método de discos, el volumen del solido esta dado como:b

V =
a

A(x)dx

3

Pero generalmente estos solidos depende de la región plana entre dos curvas que se hace girar respecto a su eje, (ver Figura 7)

Figura 7

En resumen, el volumen de un solido de revolución se calcula usando las formulas:
b

V =
a b

A(x)dx

Si la recta es el eje x o paralela al eje x Si la recta es el eje y o paralela al eje y

V =
a

A(y)dy

yhallamos el área en sección transversal A(x) o A(y) de una de las siguientes formulas: Si la sección transversal es un disco hallamos el radio del disco (en términos de x o y) y usamos
A = π(radio)2

El radio depende de la función dada f (x). Si la sección transversal es una arandela hallamos el radio interior rinterior y el radio exterior rexterior como se muestra en la gura 8.

Figura 8

Ycalculamos el área de la arandela restando el área interior del disco desde su área exterior, esto es:
A = π(radio interior)2 − π(radio exterior)2

4

Además Si el solido gira alrededor de un eje diferente al eje x o al eje y, por ejemplo gira alrededor de la recta x = m o y = n con m, n ∈ R, entonces debemos tener cuidado con la determinación del radio r, en este caso hacemos
r = (m −...