LEEA

COLEGIO S UPERIOR DEL MAIPO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESOR JOSÉ JIMÉNEZ

01

Pote nc ias y Raíces
Al té r mino de e st a le cci ón po drás:
 Rec onoc er y aplic ar las propi edad es d e las op erac ion es c on
pot enc ias de b ase r eal y ex pon en te en ter o o r ac i ona l.
 Resolver ecuaciones exponenciales.
 Efec tu ar operac i ones c on ra íc es, a plic ando s us pr o pi edades .
Deno tar u na ra íz m ed ia nte l a f orm a t ípic a .
 Rac ion al iz ar el denom inador d e una frac c ión.
 Resolver ecuaciones Irracionales

Intr oducción
Así

c om o

la

m u lti plic ac ión

es

una

s um a

abr ev iada,

las

po te nc ias

s on

m ult i plic ac i o nes abr ev iadas. A pesar d e que e n la i gu a ldad :

ab  c
La no tac i ón p ara enc on trar ta nto c c om o a fue am pl iam e nt e u tiliz ad a des d e los
gri egos ( utiliz a ndo pot enc i as y ra íc es, res pec t iv am en te), l a not ac ión utiliz a da pa ra
enc on trar b (l os l ogaritm os) no fuero n i ntr od uc idos has t a 1 614, por J ohn Napi er en el
libr o int itu lado M iri fic i L ogar it hm orum Ca nonis D esc ripti o. Es ta no tac ió n f ac il it ó s u
aplic ac i ón e n m últ ip les ram as de la m at em át ic a a plic a da, tal es c om o l a as tronom ía
y l a n avegac ió n. Pos ter iorm ent e, las no tac i ones an ter ior es fueron de gr an utilidad
par a c álc ul os c om pu tac i ona les.

1. Potencias.
Se denomina potencia de base real y exponente entero a toda expresión de la
forma:

a n  a  a  a ... a  c , a , n  Z
n vecesAs í, al val or “ a” s e l e d enom in a b as e, al v al or “ n” ex po nente y a “c” valor de la potencia.
La base corresponde al valor que se repite como factor tantas veces como nos indica el
exponente.

Ejemplos:
3
 (4)  4  4  4  64

2

2

33 9
6
 3
2
 (0,6)         
5 5 25
 10 
5

REFORZAMIENTO

1

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PROFESOR JOSÉ JIMÉNEZ

1.1 Propiedades de las Potencias

Potencias de igual base
Multiplicación

División

a m  a n  a mn ,
a  ; m, n  

a m : a n  a mn ,
a    0; m, n  

Potencias de igual exponente
Multiplicación

División

a m  b m  ( a  b) m ,
a, b  ; m  

a m : b m  ( a : b) m ,
a, b  ; b  0; m  

Potencia de unProducto

Potencia de un Cuociente

( a  b) m  a m  b m
a, b  ; m  

am
a
m
b
b
a, b  ; b  0; m  

Potencia de una Potencia

Potencia de exponente cero

( a m ) n  a m n
a  ; m, n  

a0  1
a    0

Potencia de base 1

Potencia de exponente negativo

1n  1
n  

m

m

a

m

1 a
   
a b

m

b
 
a

ma, b  ; a; b  0; m   

Ejemplos:
2
3
5
 x x  x

a7
 a6
a




 42n  (3) 2n

 12 2 n

6

(5a) 6  5a 
    56

6
a
a


b 

2
55

 b2

0
 (4)  1

12

1

1

2
7 

1
1

2
49
7

2

2

2
3 9
     
3
2 4

REFORZAMIENTO

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Recuerda que:
a1 =a

y

an  na

1.2 Ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con u na o m ás
incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir cada
lado de la ecuación a u na sola potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades
de las potencias cuandocorresponda. En consecuencia, como las pot encias son iguales, sus
exponentes también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.

Ejemplos :
 43 x 5  4 x 7

Como estas potencias son igual y tiene iguales sus bases, entonces

3x  5  x  7
2x  2
x 1

 6 3 x4 

1
36

Como las bases son distintas debemos igualarlas aplicando alguna

propiedad de las potencias, en...