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Movimiento en dos dimensiones
El movimiento de los objetos en el espacio, en muchos de los casos, se puede estudiar como si ocurriera en un plano. Algunos ejemplos comunes de movimiento en un plano son los proyectiles, los satélites y las partículas cargadas en campos eléctricos uniformes. Desplazamiento La posición de una partícula en un plano se describe con un vector de posición r, trazadodesde el origen de algún sistema de referencia hasta el punto donde se localice la partícula, Véase la figura 1. En el tiempo ti la partícula se encuentra en un punto P, y en algún instante posterior tf la partícula está en Q. Cuando la partícula se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti, el vector de posición cambia de ri a rf. y Trayectoria de la partícula

P ri rf O

∆ r = ri - rf
Qx

Figura 1. el vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial: ∆r = r - r (0.1) f i Nótese que, en general, la magnitud del vector desplazamiento es menor que la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria curva. Velocidad

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Al igual que en una dimensión, la velocidad de una partícula es una medida del cambio de suposición con respecto al tiempo. Excepto que en un plano, el cambio de posición involucra las dos componentes del vector de posición. Velocidad promedio La velocidad promedio de una partícula se define como la razón de su desplazamiento ∆r entre el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t v= r -r ∆r = f i ∆t t -t f i

(0.2)

la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆r. Velocidadinstantánea La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio, ∆r , conforme ∆t tiende a cero: v= ∆t ∆r v = lim ∆t → 0 ∆t Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición con respecto al tiempo. La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto de una trayectoria está a lo largo de la línea tangente a la trayectoria enese punto y apunta en la dirección del movimiento; esto se ilustra en la figura 2. Rapidez En general, la velocidad de un objeto en el plano se puede describir como un vector con componente horizontal vx y componente vertical vy, de tal manera que el vector velocidad en el plano se escribe como v = vxi + vyj, donde i y j son vectores unitarios. A la magnitud del vector de velocidad instantánea sele conoce como rapidez. Es decir, Rapidez = (vx2 + vy2)1/2 Aceleración Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está acelerada. La aceleración promedio

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En la figura 2, la velocidad de la partícula que se mueve en el plano tiene una velocidad vi en el punto P y una velocidad vf en el punto Q. La aceleración promedio de la partícula en el intervalode tiempo ∆t = tf - ti se define como a=

v -v ∆v i = f ∆t t -t f i

(0.3)

y Trayectoria de la partícula

∆v
vf P

-vi

ri

vi rf Q

vf x

O Figura 2. Aceleración instantánea

La aceleración instantánea, a , se define como el valor límite de la razón Cuando ∆t tiende a cero:

∆v ∆t

a=

∆v lim ∆t → 0 ∆t

(0.4)

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vectorvelocidad respecto al tiempo. La aceleración de una partícula que se mueve en un plano o en el espacio tridimensional puede aparecer producida por tres circunstancias: 1. Cuando la magnitud del vector velocidad (la rapidez) cambia con el tiempo. 2. Cuando la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, aunque su magnitud (rapidez) permanezca constante, ejemplo el movimiento circular. 3. Cuandotanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian.

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Movimiento bidimensional con aceleración constante Consideremos el movimiento de una partícula en un plano, durante el cual la magnitud y la dirección de la aceleración permanecen constantes. Es decir, ax y ay no cambian con respecto al tiempo. El movimiento de una partícula en el plano puede determinarse por medio de su...
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