Ley de gaus jordan

Análisis de Complejidad

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.
[editar]Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

Ir a la columna no cero extrema izquierda
Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga
Luego, obtenerceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen yase obtendrá la matriz en forma escalonada reducida
[editar]Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación porun escalar no nulo.
Intercambiar de posición dos ecuaciones
Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

primero
despues:

ultimo:


Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:

6 + 4 = 10
x + 6 = 10

Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:

x + 6 = 10

Una desigualdad es unaoración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:

x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ej. 3 < 4, 4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para estotenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6
1 + 5 < 6 + 5

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.

Otro ejemplo:
2 < 6
2 + -9 < 6 + -9

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.

Otro ejemplo con resta:
7 > 4
7 - 3 > 4 – 3

Ladesigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto
2 + 3 < 8 + 3
5 < 11


La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.


Multiplicación con númerospositivos:
3 < 7
3 * 6 < 7 * 6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos lados.


Multiplicación con números negativos:
4 > 1
4 • -2 > 1 • -2
-8 > -2 Falso

Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo seinvierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.

División con positivos:
3 < 9
3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1 < 3
La desigualdad es cierta.

División con negativos:
4 < 12
4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 < -6 falso
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2

La desigualdad...